第三章飞行器的运动方程(0901)

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1、第三章飞行器的运动方程3.1刚体动力学方程的推导1.刚体飞行器运动的假设1)认为飞行器不仅是刚体,而且质量是常数；2)假设地面为惯性参考系，即假设地面坐标为惯性坐标；3）忽略地面曲率，视地面为平面；4）假设重力加速度不随飞行高度而变化；5）假设机体坐标系的平面为飞行器对称平面，且飞行器不仅几何外形对称，而且内部质量分布亦对称，惯性积2.旋转坐标系中向量的导数设活动坐标系具有角速度（见图3.1-1）。向量在此坐标系中的分量为，即（3.1-1）其中、、是、、轴的单位向量。图3.1-1设有一个可变的向量，它在此坐标系中的

2、分量为，即（3.1-2）由上式求向量对时间的导数：（3.1-3）从理论力学知，当一个刚体绕定点以角速度旋转时，刚体上任何一点P的速度为（3.1-4）其中是从O点到P点的向径。现在，把单位向量看作是活动坐标系中一点P的向径，于是可得：（3.1-5）同理可得：（3.1-6）（3.1-7）将式（3.1-5）、（3.1-6）及（3.1-7）代入式（3.1-3）中，可得：（3.1-8）或写为：（3.1-9）其中称为在活动坐标系中的“相对导数”，相当于站在此活动坐标系中的观察者所看到的向量的变化率。而则称为“绝对导数”，相当于

3、站在固定坐标系中的观察者所看到的向量的变化率。例如，若是某点的向径，则代表该点的相对速度（相对于动坐标系），而则代表该点的绝对速度。3.在机体坐标系（活动坐标系）中刚体飞行器质心动力学方程由牛顿第二定律得：（3.1-10）式中：——外力——物体的质量——物体的速度——表示相对于惯性坐标系在图3.1-2中，考察飞机上的一个质量元。图3.1-2飞机上的质量元列出牛顿第二定律方程（3.1-11）式中：——作用在质量元上的外力——质量元相对惯性坐标系的速度作用在飞机上总的外力是这些微元的和，即（3.1-12）质量元的速度为

4、（3.1-13）式中：——飞机的质心的速度；——微元相对于质心的速度。将式（3.1-13）代入式（3.1-11），两边求和得：（3.1-14）假设飞机的质量是常数，式（3.1-14）可改写为（3.1-15）或（3.1-16）由于是从质心度量，所以和式。式（3.1-16）简化为（3.1-17）这个方程把作用在飞机上的外力和飞机质心的运动联系起来。由式（3.1-9）得（3.1-18）用机体坐标系上的分量表示为（3.1-19）（3.1-20）（3.1-21）则有：（3.1-22）这就是在机体坐标系（活动坐标系）下刚体飞行

5、器质心动力学方程。4.在机体坐标系（活动坐标系）中刚体飞行器绕质心转动的力矩方程。由牛顿第二定律得：（3.1-23）式中：——外力矩——物体的动量矩（角动量）——表示相对于惯性坐标系用类似方法。对于质量微元，力矩方程可以写为（3.1-24）质量微元的速度可以用质心的速度和质量元相对于质心的速度表达，即（3.1-25）总的动量矩可以写作（3.1-26）速度对于求和来说是常数，可以拿到求和符号的外面，即（3.1-27）式（3.1-27）中的第一项为0，因为，前面已经解释过。设（3.1-28）将式（3.1-20）和（3.

6、1-28）代入（3.1-27），得（3.1-29）如果定义，，（3.1-30），，（3.1-31）则有（3.1-33）由式（3-9）得（3.1-34）设（3.1-35）将式（3-20）、（3-35）代入式（3-34），则有（3.1-36）因为假设平面是飞机的对称平面，所以（3.1-37）将式（3.1-33）、（3.1-37）代入（3.1-36），得（3.1-37）3.2飞行器的运动学方程3.2.1飞行器的线运动方程1）由地面坐标系绕轴转动偏航角到过渡坐标系，转换关系为（3.2-1）2）由过渡坐标系绕轴转动到过渡坐标

7、系，转换关系为（3.2-2）3）由过渡坐标系绕轴转动滚转角到机体坐标系，转换关系为（3.2-3）由地面坐标系到机体坐标系，转换关系为（3.2-4）由机体坐标系到地面坐标系，转换关系为（3.2-5）对式（3.2-5）两边对求导得：（3.2-6）或（3.2-7）由速度坐标系的定义可建立速度坐标系与地轴系间的转换关系：（3.2-8）由速度坐标系的定义可建立速度坐标系与机体轴系间的转换关系：（3.2-9）式（3.2-9）中的转换矩阵右乘（3.2-4）的转换矩阵也表示从地轴系向速度轴系的转换，与式（3.2-8）中转换矩阵相等

8、，由此可得下列几何关系式。（3.2-10）3.2.2飞行器的角运动方程角速度分量（）与姿态角变化率（）之间的几何关系如图3.2-1所示。图3.2-1角速度分量（）与姿态角变化率（）之间的几何关系飞机三个姿态角变化率的方位如下：——沿轴的向量，向下为正。——在水平面内与轴在水平面内投影线相垂直，向右为正。——沿轴的向量，向前为正。为了得到姿态角变化率与绕机体轴