第二讲 空间几何体的表面积体积问题

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1、第二讲空间几何体的表面积体积问题【知识点精讲】1.平面图形的直观图“直观图”最常用的画法是斜二测画法，由其规则能画出水平放置的直观图，其实质就是在坐标系中确定点的位置的画法.基本步骤如下：（1）建系：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，得到直角坐标系，直观图中画成斜坐标系，两轴夹角为.（2）平行不变：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x’或y’轴的线段.（3）长度规则：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半.2.表面积和体积（1）柱体、锥体、台体的表面积表面积相关公式表面积相关公式棱柱圆柱（r：底面半径，h：高）

2、棱锥圆锥（r：底面半径，l：母线长）棱台圆台（r：下底半径，r’：上底半径，l：母线长）（2）柱体、锥体、台体的体积：体积公式体积公式棱柱圆柱棱锥圆锥棱台圆台注：柱、椎、台之间，可以看成一个台体进行变化，当台体的上底面逐渐收缩为一个点时，它就成了锥体；当台体的上底面逐渐扩展到与下底面全等时，它就成了柱体.因而体积会有以下的关系：.（3）球的表面积：（R：球的半径）；球的体积：.【例题精讲】类型一：几何体的直观图【例1】如右图所示，梯形是一平面图形的直观图.若，，，.请画出原来的平面几何图形的形状，并求原图形的面积.4变式1：如图，正方形O’A’B’C’的边长为1cm，它是水平放置的一

3、个平面图形的直观图.请画出原来的平面几何图形的形状，并求原图形的周长与面积.变式2：下列说法正确的是（）.A.相等的线段在直观图中仍然相等B.若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行C.两个全等三角形的直观图一定也全等D.两个图形的直观图是全等的三角形，则这两个图形一定是全等三角形变式3：对于一个底边在x轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（）.A.2倍B.倍C.倍D.倍变式4：利用斜二测画法得到的图形，有下列说法：①三角形的直观图仍是三角形；②正方形的直观图仍是正方形；③平行四边形的直观图仍是平行四边形；④菱形的直观图仍是菱形.其中说法正

4、确的序号依次是___________.类型2：几何体的表面积【例2】一个正三棱柱的三视图如右图所示，求这个正三棱柱的表面积.变式1：有一根长为10cm，底面半径是0.5cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕8圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少厘米？（精确到0.01cm）变式2：用长为4，宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面面积为（）.A.8B.C.D.变式3：圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（）.A.7B.6C.5D.3变式4：4一个直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）的底面是菱形，棱

5、柱的对角线长分别是9cm和15cm，高是5cm，则这个直棱柱的侧面积是（）.A.160cm2B.320cm2C.cm2D.cm2变式5：四面体ABCD四个面的重心分别为E、F、G、H，则四面体EFGH的表面积与四面体ABCD的表面积的比值是（）.A．B．C．D．变式6：已知两个母线长相等的圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为1：2，则它们的高之比为________________.变式7：一个圆锥的底面半径为R，高为H，在这个圆锥内部有一个高为x的内接圆柱.当x为何值时，圆柱的表面积最大？最大值是多少？类型三：几何体的体积【例3】一个长方体的相交于一个顶点的三个面的面

6、积分别是2、3、6，则长方体的体积是________.变式1：已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为1cm，2cm，3cm，则此棱锥的体积_____.变式2：已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为和，则（）.A.B.C.D.变式3：三棱锥V—ABC的底面ABC的面积为12，顶点V到底面ABC的距离为3，侧面VAB的面积为9，则点C到侧面VAB的距离为（）.A.3B.4C.5D.6变式4：若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（）.俯视图主视图左视图A.B.C.D.变式

7、5：矩形两邻边的长为a、b，当它分别绕边a、b旋转一周时,所形成的几何体的体积之比为（）.A.B.C.D.变式6：如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，则其体积是（）.A．B.C.D.4变式7:一个无盖的圆柱形容器的底面半径为，母线长为6，现将该容器盛满水，然后平稳缓慢地将容器倾斜让水流出，当容器中的水是原来的时，圆柱的母线与水平面所成的角的大小为__________.【练习巩固】1．正方体的内切球和外接