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1、第27节平面向量的数量积及平面向量应用举例一、考点考纲明确目标1、理解平面向量数量积的含义及其物理意义。2、了解平面向量的数量积与向量投影的关系。3、掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算。4、能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。5、会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。6、会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。二、基础再现回归课本1．向量数量积的定义（1）两个向量的夹角：已知两个非零向量，如下图所示，作，则称为向量与向量的夹角，记作.注意：①两个向量夹角的范围是；②当时,垂直，记；③当时，同向；
2、当时，反向。（2）一个向量在另一个向量上的射影：如图所示，过作于，则,叫做向量在向量方向上的射影。ABB1注意：①向量在向量方向上的射影是数量；②当为锐角时它为正值；当为钝角时它为负值；特别地，当时它等于0；当时它等于；当时它等于。（3）向量的数量积已知两个向量和，它们的夹角为，则把叫做向量与的数量积（或内积），记作，即：=.注意：①两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关：②当时，；③当时，；④当时，.（4）向量数量积的性质：①若是单位向量，则（）；②；（可以解决有关向量垂直的问题）③==；（可以进行数量积的运算，求
3、向量的模）④；（可以求两向量的夹角，同时也建立了向量与三角的联系）⑤对任意两个向量，有，当且仅当∥时等号成立（5）向量数量积的运算律：给定向量和实数，有：①交换律：；②=；③分配律：。注意：数量积的运算只适用于交换律、加乘分配律和数乘结合律，但不适合乘法结合律，即：一般地，.2．平面向量数量积的坐标表示：（1）平面向量数量积的坐标表示：已知两个非零向量，则即，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。（2）向量模的坐标表示：①设，则两点间的距离公式是；②若，则.（3）两个向量夹角的余弦公式：设是两个非零向量，是与的夹角，则有：（4）两个向量垂直与平行的充
4、要条件：设，则：①；②∥。（5）直线的方向向量：把与直线共线的向量称为直线的方向向量.①设直线方程为：，则直线的方向向量为；②设直线方程为：，则直线的方向向量为.3．向量的应用：（1）平面几何中的向量问题：向量的运算与几何图形的性质密切相关，向量的运算可以用图形简明地表示，而图形的性质又可以反映到向量的运算上来.（2）向量在物理中的应用：由于物理学中有很多矢量，因此在其研究过程中若引入向量的基本方法，可以收到较好的效果.（3）与非零向量同向的单位向量：.三、三基检测知己知彼1．已知向量=(－3,3),=(x,－4),若，则x=（）A.4B.－4C.6D.－
5、6答案：B解析：∵∴-3x-12=0即x=-42．（04，全国）已知均为单位向量，它们的夹角为，那么等于（）.答案：C解析：∵=∴3．已知向量，，若，则=()A、B、C、D、答案：D解析：∵，∴∵∴可得：n=34．已知向量，满足，，，则与的夹角大小是．答案：解析：根据公式∵∴5．已知向量，满足，，与的夹角为60°，则答案：解析：考查向量的夹角和向量的模长公式，以及向量三角形法则、余弦定理等知识，如图，由余弦定理得：四、典例研究提升能力考点一、平面向量的数量积运算及向量的模例题1已知
6、a
7、＝3，
8、b
9、＝4，a与b的夹角为，求：(1)(3a－2b)·(a－2b
10、)；(2)
11、a＋b
12、.解：(1)·b＝
13、
14、·
15、b
16、·cos＝3×4×(－)＝－6.＝9，＝16.∴(3－2b)·(－2b)＝3－8·b＋4＝3×9－8×(－6)＋64＝91＋48.(2)
17、＋b
18、＝＝＋2·b＋＝9＋2×(－6)＋16＝25－12.∴
19、＋b
20、＝即时练习：已知（1）求与的夹角；（2）求；（3）若，作，求的面积。解：（1）（2）（3）计算的夹角的正弦，再用面积公式求值.由(1)知规律总结：1．向量的数量积有两种计算方法，一是利用公式a·b＝
21、a
22、·
23、b
24、cosθ来计算，二是利用a·b＝xx＋yy来计算；2．利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，
25、要掌握此类问题的处理方法：(1)
26、a
27、＝a＝a·a；(2)
28、a±b
29、＝(a±b)＝a±2a·b＋b考点二、平面向量之间的夹角问题例二、已知单位向量与的夹角为，且，求：（1）；（2）与的夹角。解：因为是夹角为的单位向量，所以.又易求得综上,知即时练习：（2007广东文）已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(，0)．(1)若，求的值；(2)若，求sin∠A的值解:(1)由得(2).规律总结：已知a与b为不共线向量，且a与b的夹角为θ，则：①当时，；②当时，；③当时，.考点三、平面向量间的平行与垂直及其应用例三：已知向量（）.向量，
30、，且.(Ⅰ)求向量；(Ⅱ)若,，求.解：（Ⅰ）∵，∴，∵，∴，即①
