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1、1引言关灯问题是近年来流行于Internet上的一个非常有趣的游戏.定义如下,给定一个n×n方格的棋盘,每个方格有白色(开)和黑色（闭）两种状态,当用鼠标点击其中任何一个方格时,则使这个方格自身及与之相邻的上，下，左,右四个方格都改变状态,即原来是白色的则变为黑色(“关灯”之名由此而来),原来是黑色的则变为白色.对于处于棋盘边缘的方格,它们的这四个邻居可能不全存在,那么我们只考虑那些存在的方格.周昊运用代数学和数学建模的方法[1]给出了其基于有限域[2]的线性方程组[3]的数学建模，对n=5的情形给出了所有解.并进
2、一步运用代数学“分类”方法给出了游戏的四个等价类的直观描述，使游戏者不用解方程组就能立即判断出该“残局”能够变为哪个类型.当然在周昊之前，有学者对一个类似关灯问题的RPG游戏《新绝代双娇（三）》中遇到的难题，加入控制向量，通过建立数学模型进行分析验证[4-7].随后有研究人员对于RPG游戏中的一个控制问题进行了一般性推广，给出了较全面的解决方案[8].而且有些国外的学者用动态规划方法证明了种种矩阵重建问题，也证明了关于重建若干问题的邻域二进制矩阵的一些复杂的结果[9].周昊的关灯状态控制问题建模所用的数学知识相对比
3、较复杂，后来有学者对周昊提出的数学模型作了一般性推广[10]，易于接受，但是如果控制变量较大，那么求最终效果阵Q及解组合式+=的过程比较复杂，最好用编程处理或者利用数学软件如Mathematica进行计算.2n=9情形下的一个关灯问题对于以上定义的游戏规则,我们研究以下两个问题:时，棋盘的初始状态为一个残局:部分方格为白色,部分方格为黑色(如下图1),假如你继续点击下去,能否有一个方法判断,使该残局最终变为全白或全黑.此类关灯问题是关于控制方面的问题，对于灯只有开和闭只有两种状态，因此可以做出二进制向量等定义去研究
4、该问题，最终转化为有限域（二元域）上的线性方程组解的存在性的问题.已知方格棋盘的初始状态向量，终止状态向量和初始控制矩阵A，通过点击方格能否将变成的可行性判别方法归结为有限域上方程组解的存在问题:是否存在,使成立.如果存在这样的,那么通过点击方格能将变成，由解中等于1的所对应的即可得点击操作方法.如果不存在这样的，那么通过点击方格不能将变成.为了求的解，我们将其转化为矩阵方程形式，即求的解向量，其中.在图1问题中，窗户的初始状态用向量表示，则窗户的终止状态用向量表示，则列出方程组:，其中系数矩阵为,其中,，通过初等
5、行变换，可得到,其中，,,,,,,.所以原方程组可写成下面的形式通过直接的推导，可得所以=.由此可得方程组.可以解得=，得的特解为.类似地，可以得到;;;;;;;.于是，我们可以求出方程组的一个特解为现在我们找齐次方程组的八个线性无关的解，原方程组可化为.解方程组，可得,,…,的基础解系如下表所示：表1.,,…,的基础解系基础解系即可得出256个解.3九阶棋盘的分类类似于五阶棋盘情形[1]，(1≤j≤81)与(1≤i≤56)的关系如下表2表2与的关系所属集合k所属集合所属集合k所属集合所属集合k所属集合={41}=
6、{63}={12,28}={74}={72}={40,42}={75}={44,66}={33,65}={56,76}={8}={15}={5,37,45,77}={4,20}={25,73}={62,78}={6,26}={16,36}={79}={29}={52}={80}={67}={53}={21,81}={39,43}={47}={22}={27}={34}={58}={9,57}={32,50}={3}={14,68}={64}={23,59}={2}={11,51}={19}={69}={10}={3
7、8,44}={55}={17,49}={60}={54,70}={18}={7}={48}={30}={1,61}={31,71}={35}={24}={13}这就给出了集合V的一个分划，V=,且.由此即可得出每个特定的中元素的一般规律，下面表3给出中的其中一种情形.表3奇数奇数偶数偶数偶数奇数奇数偶数奇数奇数奇数偶数偶数偶数偶数偶数偶数偶数偶数偶数偶数偶数偶数奇数偶数奇数奇数偶数奇数奇数奇数偶数奇数偶数偶数偶数偶数偶数偶数偶数偶数偶数偶数偶数偶数偶数奇数奇数偶数奇数偶数偶数奇数奇数奇数偶数偶数偶数偶数偶数偶数偶数
8、偶数偶数偶数偶数偶数奇数偶数奇数偶数偶数偶数奇数偶数偶数奇数偶数偶数偶数偶数偶数偶数偶数偶数偶数偶数偶数奇数奇数奇数偶数奇数偶数奇数偶数奇数奇数奇数偶数偶数偶数偶数偶数偶数偶数偶数偶数偶数偶数这里的值对t的属向无任何影响.我们可以给出每个特定中的元素所具有的一般规律.对照,如下图2所示,记“01”区域中黑色方格的数目为N(01),…,“55”区域中黑色方格的
