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1、空间向量与立体几何测试卷一、选择题:1．在下列命题中：①若、共线，则、所在的直线平行；②若、所在的直线是异面直线，则、一定不共面；③若、、三向量两两共面，则、、三向量一定也共面；④已知三向量、、，则空间任意一个向量总可以唯一表示为．其中正确命题的个数为（）A．0B．1C．2D．32．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量、、是（）A．有相同起点的向量B．等长向量C．共面向量D．不共面向量3．已知＝（2，－1，3），＝（－1，4，－2），＝（7，5，λ），若、、三向量共面，则实数λ等于（）A．B．C．D．4．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若，则（）A．+
2、－B．－+C．－++D．－+－5．已知++＝，
3、
4、＝2，
5、
6、＝3，
7、
8、＝，则向量与之间的夹角为（）A．30°B．45°C．60°D．以上都不对6．已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为（）A．2B．3C．4D．57．已知（）A．－15B．－5C．－3D．－18．已知，，，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（）A．B．C．D．题号12345678答案二、填空题：9．若A(m＋1，n－1,3)，B(2m,n,m－2n)，C(m＋3,n－3,9)三点共线，则m+n=．10．已知向量，，，则
9、向量的坐标为 .11．在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以｛，，｝为基底，则＝．12．设
10、
11、＝1，
12、
13、＝2，2＋与－3垂直，＝4－，＝7＋2，则<,>＝．13.在空间直角坐标系O中,点P(2,3,4)在平面内的射影的坐标为;点P(2,3,4)关于平面的对称点的坐标为;14.已知空间四边形OABC,点M,N分别是边OA,BC的中点,且OA=,OB=,OC=,用表示MN=.三、解答题：15．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DC的中点，取如图所示的空间直角坐标系．（1）写出A
14、、B1、E、D1的坐标；（2）求AB1与D1E所成的角的余弦值．16.已知A(3,3,1)、B(1，0，5)，求： ⑴线段AB的中点坐标和长度； ⑵到A、B两点距离相等的点的坐标x、y、z满足的条件．17.用向量法证明：如果两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行．已知：直线OA⊥平面α，直线BD⊥平面α，O、B为垂足．求证：OA//BD． 18.（13分））已知空间三点A(0,2,3),B(－2,1,6),C(1,－1,5)⑴求以向量为一组邻边的平行四边形的面积S；⑵若向量a分别与向量垂直，且
15、a
16、＝，求向量a的坐标。19．如图，已知矩形ABCD所在平面外一
17、点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求证：EF⊥CD；（3）若ÐPDA＝45°，求EF与平面ABCD所成的角的大小．20．如图正方体ABCD-中，E、F、G分别是、AB、BC的中点．（1）证明：⊥EG；（2）证明：⊥平面AEG；（3）求，参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）题号12345678答案ACDDCBAC二、填空题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）9．10．11．12．0°13.(2,3,0);(2,3,-4)14.三、解答题（本大题共6题，共80分）15．.(13分)
18、解：(1)A(2,2,0)，B1(2,0,2)，E(0,1,0)，D1(0,2,2)(2)∵＝(0,-2,2)，＝(0,1,2)∴
19、
20、＝2，
21、
22、＝，·＝0－2＋4＝2,∴cosá，ñ＝＝＝．∴AB1与ED1所成的角的余弦值为．16.(13分)解：⑴设是线段AB的中点，则＝[(3,3,1)＋(1，0，5)]＝(2,,3)．∴线段AB的中点坐标是(2,,3)．．⑵点到A、B两点距离相等，则＝．化简，得 ．即到A、B两点距离相等的点的坐标x、y、z满足的条件是．17.(13分)证明：以点O为原点，以射线OA为非负z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，i,j,k为沿x轴，
23、y轴，z轴的坐标向量，且设＝．∵BD⊥α，∴⊥i，⊥j，∴·i＝·(1,0,0)＝x＝0，·j＝·(0,1,0)＝y＝0,∴＝(0,0,z)．∴＝zk．即//k．由已知O、B为两个不同的点，∴OA//BD．18.(13分)解：⑴∴∠BAC＝60°，⑵设a＝(x,y,z)，则解得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－1，∴a＝(1,1,1),a＝(－1，－1，－1).19．(14分)证：如图，建立空间直角坐标系A－xyz，设AB＝2a，BC＝2b，PA＝2c，则：A(0,0,0)，B(2a,0,0)，C(2a,2b,0)，D(0,2b,0)，P(0,0,2c∵E为AB的中
24、点，F为PC的中点∴E(
