数列中裂项相消的常见策略

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1、数列中裂项相消的常见策略化娟（甘肃省临泽一中734000）裂项相消是数列中常见的求解策略，裂项的本质是把数列中的乘积形式变成2项差的形式.近几年的数学高考试题频频用到此法，本文就解决这类问题的策略结合常见的试题给予概括总结，以供参考.1利用分式的通分进行裂项通分在小学和初中阶段都是常见的内容，而裂项主要是逆用通分，把乘积式转化为2式的差.例如可以利用进行裂项.例1求和1+＿分析因为，所以原式=2例2已知等差数列满足：a=7,a+a=26,的前n项和为S（1）求a及S（2）令b,求数列的前n项和为T.分析（1）略.(2)由，得,从而因

2、此===.2利用根式的分母有理化进行裂项分母有理化可以把分母中的根式去掉，从而转化为差的形式进行裂项.例如可以利用分式等.例3已知数列满足，求.分析由==.得=.3利用配凑法进行裂项把数列通过加一个数再减一个数或者乘一个数再除一个数，凑成差的形式进行裂项.例如等形式.例3已知数列满足条件，且，设，求的通项公式.分析将代入，得，从而.令则.从而=2=2()+=，于是.4利用两角差的正切公式进行裂项把两角差的正切公式进行恒等变形，例如可以变形为或者其他形式，从而解决问题.例5在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n

3、+2个数的乘积记作，（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.分析（1）（2）由题意和第（1）小题的计算结果，知另一方面，利用，得于是5利用对数的运算性质进行裂项对数运算有性质，有些试题则可以构造这种形式进行裂项.例6各项都是正数的等比数列满足，当时，证明：.分析设等比数列的公比为q（q），由，得，从而，，因此，左边=右式.6利用排列数或组合数的性质进行裂项排列数有性质，组合数有这样的性质，都可以作为裂项的依据.例7求和：分析直接利用可得结果是.例8求和：.分析有，得.例9求和：.分析利用组合数性质，有，从而.