领悟数学思想,提高解题能力

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1、领悟数学思想,提高解题能力天津市宝坻区黑狼口中学刘会英数学思想方法是联系知识和能力的纽带，是数学科学的灵魂，它对发展学生的数学能力，提高学生的思维品质都具有十分重要的作用。近些年来的中考题，也特别注重各种能力和数学思想方法的考查。下面结合实例，浅谈如何运用数学思想，提高解题能力。一、数形结合的思想所谓数形结合，就是在研究数学问题时，由数思形、见形思数、数形结合考虑问题的一种思维方式。在解题中如能恰当地运用数形结合，往往能收到奇效。例1：已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图像如图所示，有下列5个结论：（1）abc>0；（2）b

2、0（4）2c<3b；（5）a+b>m（am+b）（m≠1的实数）.其中正确的结论有(A)2个(B)3个(C)4个(D)5个(2007，天津市中考题)分析：已知图像提供给我们的信息是很丰富的，要结合函数图像的对称轴、顶点坐标、与坐标轴的交点等知识去综合分析。解：（1）由图像看，抛物线的开口向下，所以a<0.对称轴在y轴右侧，->0，又因为a<0，所以b>0.当x=0时，y(0)=c，从图像看，抛物线与y轴交点在x轴上方，所以c>0.因此，abc〈0，所以（1）的结论不正确。（2）当x=-1时，y（-1）=a-b+c.从图像上看，抛物线当x=-1时的纵坐标为负，所以a-

3、b+c〈0，即b>a+c，所以（2）的结论不正确。（3）当x=2时，y（2）=4a+2b+c.从图像和抛物线的对称性知，当x=2时的抛物线纵坐标为正，即4a+2b+c>0.所以（3）是正确的。（4）由图像知-=1，所以a=-；又因为当x=-1时，y（-1）=a-b+c<0.将a=-代入a-b+c<0得--b+c<0，整理得2c<3b.所以（4）是正确的。7（5）当x=1时，y(1)=a+b+c；当x=m时，y(m)=am²+bm+c.因为图像开口向下，所以抛物线有最大值，由顶点坐标知x=1时y(1)最大，所以y(1)>y(m)(m≠1的实数).即a+b+c>am²+

4、bm+c，整理得a+b>m（am+b），所以（5）是正确的。综上，此题答案为（B）.例2:已知方程x²-(3a+2)x+(2a-1)=0的一根大于3，另一根小于3，求a的取值范围。分析：本题如直接解答要考虑一元二次方程的判别式，根与系数的关系，还可能要解无理不等式，很麻烦。如果把一元二次方程与二次函数及图像联系起来，就可借助数形结合，直观、简捷地解决问题。解：问题等价于：抛物线y=x²-(3a+2)x+(2a-1)与x轴交点在（3，0）的两侧。画出草图，如右图因为a>0，所以抛物线开口向上，因抛物线与x轴交点在（3，0）的两侧，故当x=3时，y〈0，即3²-（3a+

5、2）×3+(2a-1)〈0,解之得a>这就是我们所求的a的取值范围。本题看似与图像无关，但却能利用图像解决，这就是数形结合的魅力所在。可见，理解并掌握数形结合方法，有助于增强学生的数学素养，提高分析问题和解决问题的能力。一、分类讨论的思想所谓分类讨论，就是在解决问题时，根据解题需要对问题进行科学的、合理的分类，然后逐类进行讨论，从而使问题得到圆满解决。这种思想对培养学生思维的周密性，克服片面性，防止漏解大有益处。例3：在∆ABC中，∠B=25°，AD是BC边上的高，并且AD²=BD∙DC，则∠BCA的度数为（）。（2005，北京市中考题）分析：这道题没有给出图形，易

6、错之处是不作分类讨论，忽略∠BCA为钝角的情况。解：∠BCA的大小有两种情况：（1）当∠BCA是锐角时，如图（1）所示，AD是BC边上的高，则∠ADB=∠ADC=90°；由AD²=BD∙DC得BD:AD=AD:DC，7因此∆ABD∽∆CAD，可知∠B=∠CAD=25°，故∠BCA=90°-∠CAD=90°-25°=65°；（1）当∠BCA是钝角时，如图（2）所示，同理可求得∆ABD∽∆CAD，可知∠B=∠CAD=25°，∠ACD=90°-∠CAD=90°-25°=65°，故∠BCA=180°-∠ACD=180°-65°=115°，故答案为65°或115°.例4：已知

7、实数a、b、c满足a²+b²=1，b²+c²=2，c²+a²=2，则ab+bc+ca的最小值为（）（A）(B)+3(C)-(D)(2006，天津市中考题)分析：这道题按常规思路，由已知解关于a、b、c的三元方程组，解得a、b、c的值，再代入ab+bc+ca计算即可。但a、b、c都有两个不同的值，代入求值很麻烦，因此考虑到a²=b²，应用分类讨论的思想，会大大简化解题过程。解：∵实数a、b、c满足a²+b²=1，b²+c²=2，c²+a²=2，∴解得a²=b²=c²=当a、b同号时，a=b=,c=有ab+bc+ca=ab+c(a+b)=×=当a、b异号时，a+b=