麦克斯韦速率分布律的一种推导方法

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1、麦克斯韦速率分布律的一种推导方法安海东（天水师范学院，物理与信息科学学院,物理系，甘肃，天水，741000）摘要：运用基本的初等方法推导出了麦克斯韦速率分布律，同时，对分布函数的归一化表达式中和求力学量平均值积分运算中对积分限可以取分子速率无限大作了定量的解释和说明。关键词：麦克斯韦速率分布律；分布函数；推导方法；分子数比率分类号：O552.3+1OneoftheDerivationMethodsofMaxwellVelocityDistributionLawAnHaidong(Schoolofphysicsandinformationscience，Ti

2、anshuiNormalUniversity，TianshuiGansu，741000)Abstract:Maxwellvelocitydistributionlawisderivedbythebasicmethods,meanwhile,whymolecularspeedcantaketheinfinitequantityinthenormalizedofdistributionfunctionandtheinfinitesimalcalculusoftheaveragevalueofthemechanicalquantity.Inthisthesis,

3、thereasonableexplanationisputforwardbyquantitativeanalysis.Keywards:Maxwellvelocitydistributionlaw，distributionfunction，derivationmethods，numberratioofmolecule物理与信息科学学院2009届毕业论文1引言麦克斯韦速率分布律是热学中的重要知识点，但大学热学教材没有作详细的推导，而是直接给出了麦克斯韦速率分布律，对在分布函数的归一化表达式中和求力学量平均值的积分运算中，为什么能对积分限取分子速率为无限大（根

4、据狭义相对论，分子速率不能达到光速，更不能达到无限大）作了定量的分析，并得出结论，这种取法是合理的，可行的。2麦克斯韦速率分布函数的推导O图1设容器内有一定量的气体处于平衡态，气体总分子数为N，以分子速度v在x，y，z三个方向的分量，，为坐标轴建立直角坐标系，如图1所示，处于平衡态的气体分子速度分布应该是各向同性的，分子速度分量限制在～+，～+，～+内，即它们的速度矢量的端点都在体积元=内的分子数显然与总分子数N和速度间隔体积元成正比，即（1）（其中）（1）式中的比例系数为（2）（2）式即为速度分布函数。其物理意义是在单位速度间隔=内的分子数占总分子数的比

5、率。速度分布函数的自变量取是为了不突出该函数只与速度的大小有关，与速度的方向无关这一特点。由于速度分布各向同性，速度的任一分量的分布与其他分量无关，故可令（3）对上式两边同时取对数，得1物理与信息科学学院2009届毕业论文（4）上式分别对，，求偏导，并注意到整理后有：(5.1)(5.2)(5.3)上面三个式子左边是完全相同的，因而右边也应该是相等的，但(5.1)式中右边仅与有关而与，无关，但（5.2）式中右边仅与有关而与，无关，但（5.3）式中右边仅与有关而与，无关，要使它们对任意的，，都成立，则必须同时等于一个与，，均无关的系数，即（6）对上式积分得（7

6、.1）（7.2）（7.3）（其中，，均为常数）将（7.1），（7.2），（7.3）式代入（3）式得(其中=)（8）联系实际，考虑到具有无限大速率的分子出现的几率极小，故应为负值。令，由归一化条件得（9）1物理与信息科学学院2009届毕业论文将代入上式。可得于是（10）再利用分子平均动能等于，这一关系：有即（11）O图2可以确定，代入（10）式便得到麦克斯韦速度分函数：（12）或（13）通常所说的速率分布函数指的是不论速度方向如何，只考虑速度大小的分布，所以在这种情况下，应该在以，，为坐标轴的球坐标系中表示。分子速度大小限制在v与v+dv之间而分子速度的方向

7、为任意，即它们的速度矢量的端点都落在半径为，厚度为的球壳内，这个球壳的体积等于，如图2所示。用体积元代替体积。→则气体分子速率在v～v+dv区间的分布为（14）1物理与信息科学学院2009届毕业论文将麦克斯韦速度分函数（13）式代入上式得（15）即（16）这就是麦克斯韦速率分函数，即麦克斯韦速率分布律。3为何能取积分限为无限大在讨论平衡态下气体分子的速率分布时，不论在归一化表达式中，还是在求力学量（如；）的平均值的积分运算中总是取积分上限为无限大。然而，根据狭义相对论，分子速率不能达到光速，更不能达到无限大。那么，为什么可以取积分限为无限大呢！为了解释这一

8、问题，先计算气体分子速率大于某一速率v的分子数比率.以表示速率在0