麦克斯韦速率分布律的推导.pdf

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1、〔RN)UFANNONNAI南宁师范高等专科学校学报年19第992期COEGE麦克斯韦速率分布律的推导口口言经柳:,摘要用初等方法推导了麦克期韦速率分布律证明该分布律不仅适用于无外场的理想气体的,。,平衡态而且也适用于处在重力场中的理想气体以及非理想气体的平衡态同时对分布。函数的归一化及求力学量平均值的积分限为什么能取分子速率为无限大作了解释和说明:;;关键词分布函数平衡态适用范围麦克斯韦速率分布律是热学教学中的重点内容之一,但现行热学教材一般不作推导而直接给出结果,对该分布规律的适用范围也欠缺说明。本文用初等方法(这种方法与麦克斯韦当初的推证过程基本相同,

2、但更,,容易为初学者所接受)将其推导出来并证明它不仅适用于无外场的理想气体的平衡态而且也适用于处在。,重力场中的理想气体以及非理想气体的平衡态最后对分布公式的归一化和力学量平均值的积分限为什么能取分子速率为无穷大作了解释和说明、一麦克斯速率分布函数的推导,,、、设容器内有一定量的气体处于平衡态气体总分子数为N分子速度在XYZ三个方向的分量分别为x、y、。,、VV从处于平衡态的气体分子速度分布应该是各向同性的在速度区间Vx一Vx+dVx巧一巧+、,d几Vz一Vz+dVz内的分子数dN显然与总分子数N和速度间隔体积元dV拼l从不IVz成正比即dN一挤l、才一Z+

3、“十Z邵(护d)V协Vz(护Vx巧Vz)(1)这里比例系数Z以NF(U)(2)风八几dV诱iVz。。即为速度分布函数其物理意义是在单位速度间隔内的分子数占总分子数的比率速度分布函数的自变量,,。“=2+2+2用u从从从来表示是为了不突出该函数只与速度的大小有关与速度的方向无关这一特点,,由于速度分布各向同性速度的任一分量的分布与其它分量无关故可令`一,)=到『(/认)j(从)f(Vz)(3)对上式取对数得、、,,,,,,z厂uZ=z,+z,+z()f(V)f(从)nf(Vz),,,,,Z=2++Z:上式分别对从从Vz求偏导并注意到u砚叭早Vz整理后有:收稿日

4、期199一代)4一21:言经柳南宁师范高等专科学校物理系532400)JA(ORNLAFNINNN舜夕师黄减等专科学松学报1999年第期2EACT卜S’HC:R)E(ELL-ld_Z一l到)工从df)(FZd一ZZd)()(Vx)f(VxVxl_vZl萨)(止匕df)(Vv,u“F“d一v2d)()(从f(巧)巧1dFuZ_一l()l一df(Vz)F2一Zd(护)d(u)Vzf(Vz)Vz,。、,上面三个式子左边是相同的因而右边也应该相等但第一个式子的右边仅与Vx有关而与从Vz无关第、,。二个式子的右边仅与从有关而与从Vz无关第三个式子的右边仅与Vz有关而与

5、Vx了从无关要使它们、、,、、,对任意Vx巧Vz都成立必须同时等于一个与从从Vz均无关的常数即11df(认)11df(从)1ldf(Vz)=久,4Z2,d()Vxf(Vx)d从巧f(从)d从2Vzf(Vz)Vz对上式积分得,,Z一A,一AZ一Af(vx)砂叮f(认)扩叮f(vx)砂叮将它们代人(3)得=3e`(,+,+,)F(vx)A长气狡(5),。,考虑到具有无限大速率的分子出现的几率极小故入应为负值令入=一犷由归一化条件有’2’:(、vz一A一、一、长、vz一1皿二。、、《叔vx丁{二柯哎二一.J’,,神一I可dvi一代人上式可得A,将一一于是乎会“’’

6、`’`Z=(,’一`长vy长”F(U)方,二二厂:,-2+2、2再利用分子平均动能等于这一关系mu1m(v从从)3-~鲁KT冬冬=,二2、l一Vx从从乙乙2乙,Z+2+Z=即(Vx巧Vz)黔`Z+“+Z“2、才3兀T皿二Vx巧Vz)到护d)V协Vz刀Z,代)便得麦克斯韦速度分布函数a可以确定司蕊磊。,+2+2己Nl,乏了()ZnF(U)左-e,谓vx狡狡(7)一V挤ZV讲父Vz一2汀KT袱NdFUZ=nI3月e()汀)(7)2KT,,,,通常说的速率分布函数f(U)指的是不论速度方向如何只考虑速度大小的分布在这种情况下自然:应该用球坐标系表示速度区间言经柳/

7、著麦克斯韦速率分布律的推导丫替d一VzU{豆粼粼。其中是d速度空间体积对应的立体角则气体分子速率在U一U+U区d间的分布为u)f(u一du)F(uZ二Zd)(8ud丁将麦氏速度分布律)`代(人上式得。一二u9)(刀刁护U)f(U=d斌4汀K2T琉一,二。29刀子)。)(U)f(=斌4韶兀K2T,。这就是大家熟悉的麦克斯韦速率分布函数即麦克斯韦速率分布律二、麦克斯韦分布律的适用范围在上述推导中,没有考虑分子间的相互作用,也没有考虑外场作用,似乎麦克斯韦分布律是对理想气体。在平衡态中没有外力场作用下的速度和速率分布情况其实麦氏分布同样适用于非理想气体和有外场的情

8、,:况下面证明这一点、1麦氏分布适用于重力场中的理想