麦克斯韦速率分布律的推导方式探讨

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1、第２０卷第２期２００６年６月Ｖｏ１．２０Ｎｏ．２Ｊｕｎ．２００６河海大学常州分校学报ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＨＯＨＡＩＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹＣＨＡＮＧＺＨＯＵ麦克斯韦速率分布律是大学物理教学的重要内容之一，然而现行的不少教材［１－３］对其的数学推导和论证过程是非常不严密的．针对这一问题，作者分别采用初等方法（与麦克斯韦当初的推证过程基本相同）和“科学猜想”方法（分子运动论的基本观点和统计性假设）对理想气体在平衡态下的速率分布进行了推导，推导结果与原结果完全一致．推导过程表明大多数教材利用麦克斯韦速率分布函数推导方均根速率的过程缺少理论依

2、据，在数学上是不严密的，属于前后循环论证．１部分教材的理论推导和阐述目前国内许多高等院校选用的大学物理教材［１－３］，在推导气体分子平均平动动能时直接给出麦克斯韦速率分布函数：ｆ（ｖ）＝４!（ｍ２!ｋＴ）３２ｖ２ｅｘｐ（－ｍｖ２２ｋＴ）然后由该函数得出方均根速率：ｖ２＝∞０!ｖ２ｆ（ｖ）ｄｖ＝３ｋＴｍ"ｖ２#＝３ｋＴｍ#最后由上式推导出气体分子的平均平动动能："$＝１２ｍｖ２＝１２ｍ?３ｋＴｍ＝３２ｋＴ以上各式中，ｍ为单原子分子的质量，ｋ为波耳兹曼常数，Ｔ为热力学温度．事实上在麦克斯韦速率分布律的推导过程中能量均分定理公式已作为

3、一个已知条件使用［５－６，８］，因此上述推导属于循环论证，是不严格的．经过查阅有关资料［４－７］后，作者采用２种方法推导了麦克斯韦速率分布律．２麦克斯韦速率分布函数的２种推导方式２．１麦克斯韦速率分布函数的初等方法推导设容器内有一定量的处于平衡态的气体，气体分子总数为Ｎ，分子速度在ｘ、ｙ、ｚ方向的分量分别为ｖｘ、ｖｙ、ｖｚ．由于气体分子的速度分布各向同性，在速度区间ｖｘ￣ｖｘ＋ｄｖｘ、ｖｙ￣ｖｙ＋ｄｖｙ、ｖｚ￣ｖｚ＋ｄｖｚ内的分子数ｄＮ与总分子数Ｎ和速度体积元ｄｖｘｄｖｙｄｖｚ的乘积成正比，即ｄＮ＝ＮＦ（ｖ２）ｄｖｘｄｖｙｄｖｚ

4、，因此速度分布函数（单位速度间隔内的分子数占总分子数的比率）Ｆ（ｖ２）＝ｄＮ／（Ｎｄｖｘｄｖｙｄｖｚ）．速度分布函数的自变量用ｖ２（ｖ２＝ｖｘ２＋ｖｙ２＋ｖｚ２）表示，分布函数只与速度大小有关，而与速度方向无关．由于速度分布各向同性，各速度分量之间互相独立，因此可令收稿日期：２００５－０９－０７作者简介：陈秉岩（１９７８－），男，云南普洱人，助理实验师，物理学专业．文章编号：１００９－１１３０（２００６）０２－００１５－０３麦克斯韦速率分布律的推导方式探讨陈秉岩１，王怡１，薛波静２，康艳萍２，茆黎琼２（１．河海大学数理教学部，江

5、苏常州２１３０２２；２．河海大学计算机及信息工程学院，江苏常州２１３０２２）摘要：指出目前许多大学物理教材中直接利用麦克斯韦速率分布函数推导方均根速率的方法是不严格的，属于循环论证．采用初等方法和科学猜想方法对麦克斯韦速率分布律进行了严格的数学推导分析，并得出了正确的结果．关键词：分布函数；麦克斯韦速率分布律；分子平均平动动能；初等方法；科学猜想方法中图分类号：Ｏ５５２．３文献标识码：Ａ２００６年６月河海大学常州分校学报Ｆ（ｖ２）＝ｆ（ｖｘ）ｆ（ｖｙ）ｆ（ｖｚ）（１）式中，ｆ（ｖｘ）、ｆ（ｖｙ）和ｆ（ｖｚ）分别为分子速率在ｘ、ｙ

6、和ｚ方向的分布函数．式（１）两边取对数后，分别对ｖｘ、ｖｙ、ｖｚ求偏导，并利用ｖ２＝ｖｘ２＋ｖｙ２＋ｖｚ２，整理后有：１Ｆ（ｖ２）ｄＦ（ｖ２）ｄ（ｖ２）＝１２ｖｘ１ｆ（ｖｘ）ｄｆ（ｖｘ）ｄｖｘ＝１２ｖｙ１ｆ（ｖｙ）ｄｆ（ｖｙ）ｄｖｙ＝１２ｖｚ１ｆ（ｖｚ）ｄｆ（ｖｚ）ｄｖｚ（２）可见式（１）对ｖｘ、ｖｙ、ｖｚ求偏导的结果相同．假设：１２ｖｘ１ｆ（ｖｘ）ｄｆ（ｖｘ）ｄｖｘ＝１２ｖｙ１ｆ（ｖｙ）ｄｆ（ｖｙ）ｄｖｙ＝１２ｖｚ１ｆ（ｖｚ）ｄｆ（ｖｚ）ｄｖｚ＝!积分后得：ｆ（ｖｘ）＝Ａ１ｅｘｐ（!ｖｘ２），ｆ（ｖｙ）＝Ａ２ｅｘｐ（!ｖｙ２）

7、，ｆ（ｖｚ）＝Ａ３ｅｘｐ（!ｖｚ２）令常数Ａ１＝Ａ２＝Ａ３＝Ａ．将此积分结果代入式（１）得：Ｆ（ｖ２）＝Ａ３ｅｘｐ［!（ｖｘ２＋ｖｙ２＋ｖｚ２）］考虑到具有无限大速率的分子出现的几率极小，故!应为负值．令!＝－!２，由归一化条件得：＋∞－∞!Ｆ（ｖ２）ｄｖｘｄｖｙｄｖｚ＝Ａ３＋∞－∞"ｅｘｐ（－!２ｖｘ２）ｄｖｘ＋∞－∞"ｅｘｐ（－!２ｖｙ２）ｄｖｙ＋∞－∞"ｅｘｐ（－!２ｖｚ２）ｄｖｚ＝１将＋∞－∞"ｅｘｐ（－!２ｖｉ２）ｄｖｉ＝"#!代入上式得"＝!"#，于是Ｆ（ｖ２）＝（!"#）３ｅｘｐ［－!２（ｖｘ２＋ｖｙ２＋ｖｚ２）］

8、＝（!"#）３ｅｘｐ（－!２ｖ２）（３）根据能量均分定理［８］，在温度为Ｔ时，单原子分子的平均能量为：１２ｍｖ２＝１２ｍ（ｖｘ２＋ｖｙ２＋ｖｚ２）＝３２ｋＴ．因此，由ｖｘ２＋ｖｙ２＋ｖｚ２＝３ｋＴｍ，即＋∞－∞!（ｖｘ２＋ｖｙ２＋ｖｚ２）Ｆ（ｖ２）ｄｖｘｄｖｙｄ