麦克斯韦速率分布律的一种推导方法

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1、麦克斯韦速率分布律的一种推导方法安海东（天水师范学院，物理与信息科学学院,物理系，甘肃，天水，741000）摘要：运用基本的初等方法推导出了麦克斯韦速率分布律，同时，对分布函数的归一化表达式中和求力学量平均值积分运算中对积分限可以取分子速率无限大作了定量的解释和说明。关键词：麦克斯韦速率分布律；分布函数；推导方法；分子数比率分类号：O552.3+1OneoftheDerivationMethodsofMaxwellVelocityDistributionLawAnHaidong(Schoolofphysicsandinf

2、ormationscience，TianshuiNormalUniversity，TianshuiGansu，741000)Abstract:Maxwellvelocitydistributionlawisderivedbythebasicmethods,meanwhile,whymolecularspeedcantaketheinfinitequantityinthenormalizedofdistributionfunctionandtheinfinitesimalcalculusoftheaveragevalueo

3、fthemechanicalquantity.Inthisthesis,thereasonableexplanationisputforwardbyquantitativeanalysis.Keywards:Maxwellvelocitydistributionlaw，distributionfunction，derivationmethods，numberratioofmolecule物理与信息科学学院2009届毕业论文1引言麦克斯韦速率分布律是热学中的重要知识点，但大学热学教材没有作详细的推导，而是直接给出了麦克斯韦

4、速率分布律，对在分布函数的归一化表达式中和求力学量平均值的积分运算中，为什么能对积分限取分子速率为无限大（根据狭义相对论，分子速率不能达到光速，更不能达到无限大）作了定量的分析，并得出结论，这种取法是合理的，可行的。2麦克斯韦速率分布函数的推导设容器内有一定量的气体处于平衡态，气体总分子数为N，以分子速度v在x，y，z三个方向的分量vx，vy，vz为坐标轴建立直角坐标系，如图1所示，处于平衡态的气体分子速度分布应该是各向同性的，分子速度分量限制在vx～vx+dvx，vy～vy+dvy，vz～vz+dvz内，即它们的速度矢

5、量的端点都在体积元dw=dvxdvydvz内的分子数dN显然与总分子数N和速度间隔体积元dw成正比，即dN?NF(v)dvxdvydvz（1）2（其中v?v?v?v）（1）式中的比例系数为F(v2)?dNNdvxdvydvz22x2y2z（2）（2）式即为速度分布函数。其物理意义是在单位速度间隔dw=dvxdvydvz内的分子数占总分子数的比率。速度分布22?vy?vz是为了不突出该函数只与速度的大小有关，函数的自变量取v2?v2与速度的方向无x关这一特点。由于速度分布各向同性，速度的任一分量的分布与其他分量无关，故可令

6、F(v2)?f(vx)f(vy)f(vz)（3）对上式两边同时取对数，得1物理与信息科学学院2009届毕业论文lnF(v)?lnf(vx)?lnf(vy)?lnf(vz)（4）22上式分别对vx，vy，vz求偏导，并注意到v2?v2?vy?vzx2整理后有：12dF(v)22F(v)d(v)?11df(vx)dvx2vxf(vx)(5.1)12dF(v)22F(v)d(v)122?11df(vy)dvy2vyf(vy)?11(5.2)dF(v)2df(vz)dvzF(v)d(v)2vzf(vz)(5.3)上面三个式子左边

7、是完全相同的，因而右边也应该是相等的，但(5.1)式中右边仅与vx有关而与vy，vz无关，但（5.2）式中右边仅与vy有关而与vx，vz无关，但（5.3）式中右边仅与vz有关而与vx，vy无关，要使它们对任意的vx，vy，vz都成立，则必须同时等于一个与vx，vy，vz均无关的系数?，即11df(vx)dvx?11df(vy)dvy?11d(vz)??（6）2vxf(vx)2vyf(vy)2vzf(vz)dvz对上式积分得f(vx)?A1e?vx2（7.1）2f(vy)?A2e?vy（7.2）（7.3）f(vz)?A3e

8、?vz2（其中A1，A2，A3均为常数）将（7.1），（7.2），（7.3）式代入（3）式得F(v)?Ae2?(vx?vy?vz)222(其中A=A1A2A3)（8）联系实际，考虑到具有无限大速率的分子出现的几率极小，故?应为负值。令????2，由归一化条件得?????????F(v)dvxdvydvz?A?e??2