三角函数和平面向量易错点例析

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1、三角函数与平面向量中的易错易漏点分析一．三角变换1.忽视函数的定义域对角范围的制约致错注意定义域对角范围的制约有些三角函数的定义域，因其相对隐蔽，解题时往往被忽略考虑，造成错解。例1.求函数的递增区间。错解：设剖析：上述解法忽略了函数的定义域。因为题目中分母不能为零，即例2.求函数的最小正周期。错解：，。即函数的最小正周期为。错解剖析：不是的周期，因为当时，有意义，所以由周期函数定义知应有成立，然而根本无意义，故不是其周期，错解是由于忽视其定义域产生的。正确解法：解：函数的定义域要满足两个条件；要有意义且，且当

2、原函数式变为时，此时定义域为显然作了这样的变换之后，定义域扩大了，两式并不等价所以周期未必相同，那么怎么求其周期呢？首先作出的图象：而原函数的图象与的图象大致相同只是在上图中去掉所对应的点从去掉的几个零值点看，原函数的周期应为说明：此题极易由的周期是而得出原函数的周期也是，这是错误的，原因正如上所述。那么是不是说非等价变换周期就不同呢？也不一定，如1993年高考题：函数的最小正周期是（）。A.B.C.D.。此题就可以由的周期为而得原函数的周期也是。但这个解法并不严密，最好是先求定义域，再画出图象，通过空点来观察

3、，从而求得周期。2．忽视注意三角函数值对角范围的制约致错三角求值或求角的大小时，不仅要注意有关角的范围，还要结合有关角的三角函数值把角的范围缩小到尽可能小的范围内，不然容易出错。例3.已知α、β为锐角，，，求β。错解：由α、β为锐角，知，所以。又或cosβ=，得。剖析：在上面的解法中，未能就题设条件进一步缩小α+β的范围，引起增解。我们可以作如下进一步分析：因为所以或。又，得，于是，故。例4已知是方程x2-6x+7=0的两根，，求的值.错解：由韦达定理得①又②因为，所以,③由②③得或辨析:由①知，两根同号且均大

4、于0，所以。故正确答案为：3．忽视三角形的边角关系对角范围的制约致错解与三角形有关的三角问题时，必须注意三角形中的边角等量关系、边角的不等关系及内角和关系等对角范围的制约，以免产生增解。例5．A、B、C为△ABC的内角，且，求cosC的值。错解：由，得，且。剖析1：由于，，故，两边乘△ABC外接圆的直径2R，得所以角B一定是锐角。于是，故。剖析2：若得矛盾。故角B为锐角，从而，故。例6．A、B、C为ABC的内角，A、B、C依次成等差数列，求cosAcosB的取值范围.错解：因为A、B、C成等差数列，所以2B=A

5、+C，所以B=600，A+C=1200，由Cos(A+C)=cosAcosC-sinAsinC,cosAcosC=1/2[cos(A+C)+cos(A-C)=1/2[cos1200+cos(2A-1200)]=-1/4+1/2cos(2A-1200)，因为，所以，所以辨析：注意到B=600,C+A=1200则C=1200-A>0，所以00

6、才能得出正确的结果。例7．已知，且，求的值。错解：由已知等式得……①……②，得：。，，，或。剖析：上述解法错了，错在没有利用题设条件进一步缩小的范围，产生了增根。事实上，同理可得,……③又，，，因此结合③得：，，。又。从而，故。5.忽视三角函数的值域致错例8.若，求的最大值与最小值。错解：由已知得：，则有。当时，取得最大值1，当时，取得最小值。分析：最小值求错了，错的原因就是未注意正弦函数的有界性。正解：由知，解之得：。故的最大值与最小值分别为1和。6.三角代换不等价致错例9.已知，求证：。错证：设，则有故不等

7、式成立。错解分析：这里的题设条件中尽管呈现正、余弦函数的有界性，但两个字母a、b并非有一定的制约关系，因此不能设成同名，且最后一步正、余弦平方和大于零也欠推敲。例10.已知，求的取值范围。错解：由得：，可设，其中，则有。由所设推得：，即。，于是，，。错解：剖析：仔细分析满足已知不等式的、的取值范围应为，故在三角代换时不等价，对角的范围要限制成，正确结果应为。7.解法不当引起增解致错例11.已知，且，，求。错解：，，，又。由知，或。错解剖析：由于正弦值为的角在上不唯一，才造成两解。正确解法应是取余弦，因余弦函数在

8、中是单调的，这样才不会扩大解集，即由知例12.若，求的取值范围解：令，则有说明：此题极易只用方程组（1）中的一个条件，从而得出或。原因是忽视了正弦函数的有界性。另外不等式组（2）的求解中，容易让两式相减，这样做也是错误的，因为两式中的等号成立的条件不一定相同。这两点应引起我们的重视.二.三角函数型函数易错点剖析　　形如的函数是三角函数中最基本，也是最重要的函数，为了帮助同学们全面，深刻