例析双曲线中的易错点

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1、26上海中学数学·2012年第l1期例析双曲线中的易错点312467浙江省嵊州市长乐中学过江英相较于椭圆、抛物线，双曲线的图形变成了分．它是构成判断、推理的要素．因此必须弄清两支曲线，由此产生了一些不同于椭圆、抛物线概念，搞清概念的内涵和外延，为判断和推理奠的独特性质，因此学生在学习中感到比较难，有定基础．概念模糊就容易思维混乱，产生错误．时会犯概念模糊、忽视条件、推理不严、考虑不例1已知M(一2，0)，N(2，0)，IPMl—周各种错误．笔者试图通过对几例双曲线易错lPNl一4，则动点P的轨迹是()题的剖析，帮助学生全面准确理解已知条件，特

2、A．双曲线B．双曲线左边一支别是隐藏在已知条件中的条件，从而提高解题C．一条射线D．双曲线右边一支能力．错解：由双曲线定义直接得到答案B．剖析：双曲线定义中有条件：到两定点距离一、概念模糊差的绝对值为常数(小于两定点距离)，而该题概念是数学理论体系中十分重要的组成部中没有满足这个条件，常数与两定点距离相等证明：由已知条件可得原不等式等价于(a+6+C)(a+6+C)bC。．aca、3ad+bd，+cd2S‘db+ac。bc+ba＆c+6c，／2‘事实上，由上述论证，本题可以推广到：设这是显然的，运用柯西不等式的变式可得P是面积为S的凸边形A。

3、AA⋯AAJ内n6+nc+6f军++。≥二，一专2(、n“b+bc。+。ca)≥二，一专2一点，P到各边A．A：，AA。，⋯，AAAA．的距离分别为d，d，⋯，d一，d，记AA一a，·3(abc)一．A2A一a2，⋯，AlA一a1，AAl—a则有一一一_⋯一-—I事实上，本题还可以推广为：若∈N，满dl。d2。。d1‘d，足abc一1，则有、(al+a2+⋯+a—l+a————————一‘一上上旦a2n+(6+c)b。(c+日)c。_(a+6)，／2‘具体使用上述柯西不等式的变式关键在于评注：上述IMO试题都难以入手、证明复理解题意、依据外形

4、结构特征，妥善、合理、恰当杂，若运用柯西不等式的变式则迅速获解．因此地变形，同时结合均值不等式、三角、平几等知如何充分利用柯西不等式变式的外形结构和本识，更能凸显该变式的功能．质属性，使得一些难题迎刃而解，是摆在奥赛教练和高中一线教师面前一个重要而紧迫的课题．参考文献六、借助几何知识来使用变式[1]蔡玉书．数学奥林匹克不等式证明方法和技巧(下)[M]．哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，11．(第22届IMO试题)设P是面积为S2011．的△ABC内一点，P到三边BC，CA，AB的距离[2]王淼生．数学百题精彩千解[M]．福州：福建教育分别为d，d

5、，d，记BC=a，CA=b，AB=c．求证：出版社，2009．鱼上、、>堡±鱼±E33沈文选．奥赛经典解题金钥匙高中数学[M]．长dd，d2S’沙：湖南师范大学出版社，2006．证明：由距离联想到三角形面积公式，并利[4]吴振奎．数学解题中的特殊方法[M]．哈尔滨：哈用上述柯西不等式的变式可得尔滨工业大学出版社，2011．[5]熊斌，陈双双．解题高手高中数学[M]．上海：华dl+。d2+d3一著ad1+。bd2+麦c≥。／东师范大学出版社，2008．上海中学数学·2012年第11期了，所以只能选C．三、考虑不周2．2例2双曲线一一1上一点P到

6、右焦认真思考，明确解决问题的分类是学生必点的距离是5，则下面结论正确的是()须具备的数学能力．它既考察了学生的分类讨A．P到左焦点的距离为8论思想，又锻炼了学生解题的严密性．如果考虑B．P到左焦点的距离为15问题不全面，常会导致漏解甚至误解．C．P到左焦点的距离不确定例4已知双曲线的对称轴为坐标轴，两个D．这样的点．P不存在顶点问的距离为2，焦点到渐近线的距离为√2，错解：设双曲线的左、右焦点分别为F1、求双曲线方程．F2，由双曲线的定义得lPFl—lPF。l一±10，‘错解：设双曲线方程一一l，则渐近线．。lPF。l：5，．。．1PFj—l

7、PF2f+10—15，故选B．方程一±÷又n一1，由点到直线距离公式剖析：若jPF。『一5，IPF。l一5，则fPFl+JPl一20，而』Fl一2c一26，即有lPFI+得：6一√一2，故双曲线方程为．r。一1●一1．lPF』

8、正解：(1)当焦点在．r轴上，设双曲线方程llPFl—IPF2lI一2a，还要注意条件n