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1、空间向量编辑教师苏立艳1.空间向量及其加减与数乘运算：(1)在空间，具有大小和方向的量叫做向量．长度相等且方向相同的有向线段表示同一向量或相等的向量．(2)空间向量的加法、减法与向量数乘运算是平面向量运算的推广．(3)空间向量的加减与数乘运算满足如下运算律：加法交换律：;加法结合律：;数乘分配律：.2.共线向量与共面向量:(1)如果表示向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫共线向量或平行向量.(2)平行于同一平面的向量叫做共面的向量．任意两个向量总是共面的．(3)共线向量定理：对空间任意两个向量的充要条件是存在实数使;推论：如果为经过已知点
2、A且平行于已知非零向量的直线，那么对任一点O，点P在直线上的充要条件是存在实数,满足等式.其中向量叫做直线的方向向量.(4)共面向量定理:如果两个向量不共线,则向量与向量共面的充要条件是存在实数对，使.推论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对，使或对空间任一定点O，有.3.空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使.其中叫做空间的一个基底，都叫做基向量．推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的有序实数组x、y、z,使(这里隐含x+y+z≠1).10空间向量
3、编辑教师苏立艳注：设四面体ABCD的三条棱，其中Q是△BCD的重心，则向量用即证.4.两个向量的数量积(1)向量的数量积(2)向量的数量积的性质:①(是单位向量)；②③.(3)向量的数量积满足如下运算律:①交换律:;②与实数相乘的结合律=;③分配律:.注:向量的数量积不满足结合律即5.如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用来表示．在空间选定一点O和一个单位正交基底，如图，以点O为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴:轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系，点O叫原点，向量都叫做坐标
4、向量，通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称xOy平面、yOz平面、z0x平面．作空间直角坐标系O—xyz时，一般使∠xOy=1350,∠yOz=900．对于空间任一向量，由空间向量的基本定理知，存在唯一的有序实数组,使,有序实数组叫做在空间直角坐标系O—xyz中的坐标，记为=．对于空间任一点A，对应一个向量，于是存在唯一的有序实数组x，y，z，使，即点A的坐标为.空间向量的直角坐标运算:设=(a1,a2,a3),，则①,②,③10空间向量编辑教师苏立艳④∥⑤⑥(用到常用的向量模与向量之间的转化：)⑦⑧设，则=这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于
5、表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标．则，这就是空间两点间的距离公式．6.法向量：若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果,那么向量叫做平面的法向量.法向量的用法：①利用法向量可求点到平面的距离定理：如图，设是平面的法向量，AB是平面的一条射线，其中，则点B到平面的距离为.(实质是在法向量方向上的投影的绝对值)②利用法向量可求二面角的平面角定理：设分别是二面角中平面的法向量，则所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小.二面角的平面角或（，为平面，的法向量）.③直线与平面所成角(为平面的法向量).10空间向量编辑教师苏立艳
6、④异面直线间的距离(的公垂向量为，分别是上任一点，为间的距离).(实质是在公垂向量方向上的投影的绝对值)基础训练1.判断题（）（）2.在以下四个式子中正确的有（）a+b·c，a·（b·c），a（b·c），
7、a·b
8、=
9、a
10、
11、b
12、A.1个B.2个C.3个D.0个3.设向量a、b、c不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是（）A.{a+b，b－a，a}B.{a+b，b－a，b}C.{a+b，b－a，c}D.{a+b+c，a+b，c}4.已知向量＝(－1，3，－2)，＝(2，0，－2)，＝(0，2，1)，＝，则的模为()(A)(B)(C)12(D)135.如
13、图，已知空间四边形ABCD，M、G分别是BC、CD的中点，连结AM、AG、MG，则+等于()(A)(B)(C)(D)6.若、、三个单位向量两两之间夹角为,则
14、++
15、＝()(A)6 (B)(C)3(D)7.已知a=（1，0），b=（m，m）（m＞0），则〈a，b〉=_____________.8A是△BCD所在平面外一点，M、N分别是△ABC和△ACD的重心，若BD=4，试求MN的长.___________10空间向量编辑教师苏立艳910.若a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),且a∥b，则x=,y=.11.在四面体O-ABC中，=a,=b,=c,
16、D为BC的中点,E为AD的中点，则=(用a,b,c表示).12已知四边形ABCD
