复变函数与积分变换论文

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1、复变函数论文复变函数在反馈系统稳定性中的应用姓名：李欢欢学号：091410121学院(系)：电气与电子工程系专业：电气工程及其自动化指导教师：秦志新评阅人：完成日期：2011年12月25日星期日复变函数在反馈系统稳定性中的应用一、摘要:Laplace变换在分析反馈系统稳定性有着关键作用，求解一些简单的稳定性问题也很方便。但对于一些较为复杂的反馈系统，用Laplace变换就不方便了。通过对“辐角定理和奎斯特判据”和Laplace变换及特征方程，根与系数关系劳斯判据，根据三种方法的对比及其不同方法的特点体现出利用辐角定理结合奎斯特判据处理反馈系统问题的优越性。辐角定理与

2、奈奎斯特判据解法简单易懂便于推广，同时在其他领域也有着广泛的应用。二、关键词:反馈系统、幅角、奈奎斯特判据、极点、零点三、正文:【提出问题】:在电气电子工程及其自动化控制过程中，如图所示负反馈放大电路是最为常见的，应用最广泛的电路之一Xi为输入量，Xi’为电路中信号净输入量，Xf为反馈量，“”为反馈系统在实际应用中，当输入信号为零即Xi=0时。由于某种电扰动（如合闸通电或者外来信号干扰）其中含有的信号经过电路的放大，产生输入信号，而输出信号再进过负反馈系统再次进入输入，如此循环下去，电路将产生自激振荡，反馈系统将无法正常工作，处于不稳定状态。所以如何保持反馈系统稳定

3、工作，不致于产生自激振荡、在实践上和理论上都是一个必须解决的问题。【分析问题】:如图所示表示单个回路反馈系统，整个反馈系统的输出Y(s)，与输入X(s)之间的关系为Y(s)=H1(s)[X(s)-H2(s)Y(s)]则闭环传输函数而开环传输函数将H（s）进行拉氏反变换得式中Pi为H（s）的极点。从上式易得Pi为负实数根时，h(t)为衰减指数函数。当Pi为正实数根时，h(t)为增长指数函数，如图所示，由图易得若H（s）的极点，都位于[s]平面的左半平面，则反馈系统式是稳定的。（1）为负实数，衰减（2）为正实数，增长（3）为实部为负的共轭复数，为衰减正弦振荡（4）为实部

4、为正的共轭复数，为增长正弦振荡（5）为虚数，为等幅正弦振荡´´´´´´´´所以判断H（s）是否稳定的关键在于确定其极点是否都在左半平面【解决问题】:由分析过程可得。判别整个系统是否稳定，关键在于确定开环传输函数在左半平面是否有零点。设一复变函数F(s)=1+G(s)H(s)（1）称之为辅助函数，其中G(s)H(s)是系统的开环传输函数,通常可写成如下形式（2）式中Pj(j=0,1,2,……)是系统的开环极点，将式（2）代入式（1）得（3）复变函数：S为复变量，以S复平面上的S=σ+jω表示，F(s)为复变函数，以F(s)复平面上的F(s)=R+jIm表示。设对于S平

5、面下除了有限奇点之外的任一S,复变函数F(s)为解析函数，即单值的连续正则函数，若在S平面上任选一封闭曲线Γs，并使Γs不通过F(s)的奇点，则S平面上的封闭曲线Γs映射到F(s)平面上也是一条封闭曲线ΓF，参阅图1；若在S平面上的封闭曲线是沿着顺时针方向运动的，则在F(s)平面上的映射曲线的运动方向可能是顺时针的，也可能是逆时针的，取决于F(s)的函数的特性。图1S到F(s)平面的映射关系设有辅助函数为：其零、极点在S平面上的分布如图2所示，在S平面上作一封闭曲线Γs，Γs不通过上述零、极点，在封闭曲线Γs上任取一点F(s1),其对应的辅助函数的幅角应为当解析点S

6、1沿封闭曲线Γs按顺时针方向旋转一周后再回到S1点，从图2中可以发现，所有位于封闭曲线Γs外面的辅助函数的零、极点指向S1的向量转过的角度都为0，而位于封闭曲线Γs内的辅助函数的零、极点指向S1的向量都按顺时针方向转过2π弧度（一周）。这样，对图2（a），Z=1，P=0，∠F(s1)==-2π即N=－1，F(s)绕F(s1)平面原点顺时针旋转一周；对图2（b），Z=0，P=1，∠F(s1)=2π，即N=1，F(s)绕F(s1)平面原点逆时针旋转一周；对图2（c），Z=1，P=1，∠F(s1)=0，即N=0，F(s)不包围F(s1)平面原点。将上述分析推广到一般情况则

7、有：∠F(s1)=2π(P-Z)=2πN由此得到幅角定理表达式为N=P-Z图2封闭曲线包围零、极点时的映射情况为了分析反馈控制系统的稳定性，只须判断是否存在S平面右半部的闭环极点（即开环零点）。而研究函数在整个右半平面的特性，可以把闭曲线C当做jw轴和一个半径为R的半圆构成闭曲线，如图所示。反馈系统的稳定性问题，假定于系统是稳定的。即H1(S)和H2(S)在右半平面（包括jw）没有极点。即P=0，则N值就是U(jw)在s平面右半平面上的零点数。即判断U(s)在右半平面是否有零点，只需看在U(s)平面上U(jw)的轨迹是否环绕原点由于在测量上和计算上采用开环传输式