函数极限的性质证明

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1、函数极限的性质证明第一篇：函数极限的性质证明函数极限的性质证明x1=2,xn+1=2+1/xn,证明xn的极限存在，并求该极限求极限我会

2、xn+1-a

3、<

4、xn-a

5、/a以此类推，改变数列下标可得

6、xn-a

7、<

8、xn-1-a

9、/a;

10、xn-1-a

11、<

12、xn-2-a

13、/a;……

14、x2-a

15、<

16、x1-a

17、/a;向上迭代，可以得到

18、xn+1-a

19、<

20、xn-a

21、/(a)2只要证明{x(n)}单调增加有上界就可以了。用数学归纳法：lim就省略不打了。。。n/(n+1)=0√(n+4)/n=1sin(1/n)=0实质就是计算题，只不过题目把答案

22、告诉你了，你把过程写出来就好了第一题，分子分母都除以n，把n等于无穷带进去就行第二题，利用海涅定理，把n换成x，原题由数列极限变成函数极限，用罗比达法则(不知楼主学了没，没学的话以后会学的)第三题，n趋于无穷时1/n=0，sin(1/n)=0不知楼主觉得我的解法对不对呀limn/(n+1)=lim(1/n)/(1+1/n)=lim(1/n)/(1+lim(1+n)=0/1=0lim√(n+4)/n=lim√(1+4/n)=√1+lim(4/n)=√1+4lim(1/n)=1limsin(1/n)=lim=lim(1/n)*lim/(1/n)=0*1=0第

23、二篇：函数极限的性质§3.2函数极限的性质§2函数极限的性质ⅰ.教学目的与要求1.理解掌握函数极限的唯一性、局部有界性、局部保号性、保不等式性，迫敛性定理并会利用这些定理证明相关命题.2.掌握函数极限四则运算法则、迫敛性定理,会利用其求函数极限.ⅱ.教学重点与难点:重点:函数极限的性质.难点:函数极限的性质的证明及其应用.ⅲ.讲授内容在§1中我们引入了下述六种类型的函数极限：1)limf?x?；2)limf?x?；3)limf?x?x???x???x???f?x?；6)limf?x?。4)limf?x?；5)lim??x?x0x?x0x?x0它们具有与数列极限相类似的

24、一些性质，下面以第4)种类型的极限为代表来叙述并证明这些性质．至于其他类型极限的性质及其证明，只要相应地作些修改即可.定理3．2(唯一性)若极限limf?x?存在，则此极限是唯一的．x?x0证设?,?都是f当x?x0时的极限，则对任给的??0，分别存在正数?1与?2，使得当0?x?x0??1时有f?x?????，(1)当0?x?x0??2时有f?x?????，(2)取??min??1,?2?，则当0?x?x0??时，(1)式与(2)式同时成立，故有????(f?x???)??f?x????f?x????f?x????2?由?的任意性得???，这就证明了极限是唯一的.定

25、理3。3（局部有限性）若limf?x?存在，则f在x0的某空心邻域u0?x0?内有界．x?x0证设limf?x???．取??1，则存在??0使得对一切x?u0?x0;??有x?x0f?x????1?f?x???1这就证明了f在u0?x0;??内有界．定理3．4(局部保号性)若limf?x????0(或?0)，则对任何正数r??（或x?x0r???)，存在u0?x0?，使得对一切x?u0?x0?有f?x??r?0（或f?x???r?0）证设??0，对任何r?(0,?)，取????r，则存在??0，使得对一切x?u0?x0;??f?x??????r，这就证得结论．对于??

26、0的情形可类似地证明．注在以后应用局部保号性时，常取r?a．2x?x0定理3．5(保不等式性)设limf?x?与都limg?x?都存在，且在某邻域u0x0;?'内x?x0??有f?x??g?x?则limf?x??limg?x?（３）x?x0x?x0证设limf?x?=?，limg?x?=?，则对任给的??0，分别存在正数?1与?2使x?x0x?x0得当0?x?x0??1时有????f?x?，当0?x?x0??2时有g?x?????令??min?',?1,?2，则当0?x?x0??时，不等式f?x??g?x?与(4)、(5)两式同时成立，于是有????f?x??g?x?

27、????从而????2?．由?的任意性推出???，即(3)式成立．定理3．6(迫敛性)设limf?x?=limg?x?=ａ，且在某u0x0;?'内有x?x0x?x0????f?x??则limh?x???．x?x0h?x??g?x?证按假设，对任给的??0，分别存在正数?1与?2，使得当0?x?x0??1时有，2????f?x?(7)当0?x?x0??2时有g?x?????(8)令??min?,?1,?2，则当0?x?x0??时，不等式(6)、(7)、(8)同时成立，故有????f?x??h?x??g?x?????由此得h?x?????，所以limh?