处理好猜测与证明的关系(1方程组加)

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1、推理能力一、推理能力的培养是数学课程的重要目标培养学生的推理能力是数学教育的重要目标之一。推理既包括以三段论为主要形式的演绎推理，又包括以归纳、类比为主要途径的合情推理。这两种推理形式无论是在数学的研究中还是在数学的学习中都是十分重要的。合情推理是获得猜测提出猜想的有效途径，在数学的发现中扮演着不可或缺的角色。演绎推理是数学学科的特点，是确认数学命题为真的推理。但演绎推理所论证的对象往往是由合情推理得来的，同时，由合情推理所得到的猜测必须经过证明（即演绎推理）才能确定其正确性，因此，在数学的发展过程

2、中二者是相辅相成、缺一不可的。关于合情推理和演绎推理在人的发展和日常工作中的重要意义，著名的美国数学家和数学教育家波利亚（G．Polya）的一段话给出了很好的回答：“一个认真想把数学作为其终身职业的人，要学好论证推理，---------”。在以往的数学教育教学中，我们对论证推理给与了充分的关注，在我们强调的基础知识、基本技能中，都表现出对逻辑的强调，即给出已知条件，求证一个结论，这是演绎的方法。但我们对引导学生们尝试着去推测、猜想等关注的不够，也就是说对归纳、类比等合情推理强调的不够。其中的原因可能

3、是多方面的，既有主观认识上，也有客观的原因。（引用史校的话）然而，归纳、类比等与创新思维的联系是非常密切的，因此不注重归纳等合情推理能力的培养，就不利于对学生创新精神的培养，不利于创新型的人才的培养。在义务教育阶段和普通高中的数学课程标准中，都明确提出要让学生经历观察、实验、猜测的过程，要重视培养学生的合情推理能力，并提出了具体的内容要求。例如，高中的数学课程标准中设立了专题“推理与证明”，就强调了培养学生两种推理的重要性，以及如何培养的问题（参见课标）。课程标准中对推理能力的全面要求，推动了课程实

4、施中对合情推理的关注，新课程的数学实验教材以及当前的数学课堂教学中，也都重视了学生探索、猜测的过程，为学生进行合情推理提供机会。同时，由于评价（尤其是选拔性的考试）的导向作用，我们发现在各种类型的学业评价中也增加了对学生观察、探索、归纳、概括、猜测以及证明等能力的考察。但是，归纳、类比等推理与演绎推理不同，它们没有固定的程序6和具体的步骤，对它们的理解和把握以及运用更多的是需要学生在学习、探索的过程中自己去感悟和体会。因此为学生提供必要的问题情景和探索性机会，在解决问题的过程中，让学生们亲自去观察、

5、概括、抽象，进而发现规律并作出相应的猜测，是十分必要的。同样，评价学生的推理能力也需要利用恰当的问题情境，以全面衡量学生的推理能力。二、提供恰当的问题情境实现推理能力的培养1、问题的选择应与学生的知识相适应在有关合情推理的教学和评价方面，广大数学教育工作者和数学教师通过自己的努力，营造出学生观察、思考和探索的气氛，也编制出一些可供学生进行这方面探索的问题以及考察学生能力的测试题。例如，如下的一道中考试题就是其中的一例。问题①老师在黑板上写出三个算式，52-32=8×2，92-72=8×4，152-3

6、2=8×27，王华接着又写出了两个具有同样规律的算式：112-52=8×12，152-72=8×22，（1）请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式；（2）用文字写出反映上述算式的规律；（3）证明这个规律的正确性。事实上，上面问题①的已知条件中，五个等式分两次给出，按照美国数学教育家波利亚的观点波利亚．《数学与猜想》．科学出版社,1984,p2．，将前三个等式称之为启发式联想，因为对这三个等式的观察与分析，能够启发观察者获得对某种规律的初步认识，但这样的认识是模糊的；接下来的算式波利亚称之

7、为支持性联想，也就是对前面得到的较为模糊的认识的进一步的清晰和认可，这个过程实际上就是获得了猜测的过程。继续下去，对第一个问题的回答，我们可以看成是对前面的猜测进行验证的过程，也可以看成是支持性联想的一部分。而对于第二个问题的回答，就已经是将发现的规律进行一般化的表述，形成猜想了。最后则是给出形式化的数学证明。在完成这个问题的解答过程中，既包含了对所给的算式的观察、分析和类比，又要求在此基础上归纳和探索出规律，并进一步对规律进行数学的表述，最后对此规律进行推理证明。因此，笔者认为这样的一个问题就为学

8、生进行合情推理和演绎推理提供了可能，作为试题也能全面地考察学生两种推理能力的情况。6上面这个例子中，无论是类比、归纳还是推理证明，都是学生们能够完成的，因此，它既适合对学生相应能力的培养，也适合考察学生相关的能力和水平。对于小学生或者初中学生来说，通过对某些问题的观察、分析，进而发现一定的规律并获得猜测是可能做到的，但是要证明这个猜测的正确性有时就是学生们力所不能及得了。例如，问题②计算21-1=1，22-1=3，23-1=7，24-1=15，25-1=31，…。归纳