高考题之分段函数

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1、高考题之“宠儿”近几年，高考中对分段函数的考查越来越多，分段函数已成为高考题之“宠儿”。那么高考题都以哪些形式进行考查呢？本文就以高考题为例，从如下三个方面展开讨论。一、求分段函数的函数值所谓分段函数，即在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式。显然，求分段函数的函数值重在考查分段函数的概念，求分段函数的函数值主要从以下两种类型上展开。例1：（2011年高考陕西卷文科）设f（x）=lgx,x>010x,x≤0，则f（f（-2））=.【答案】-2【解析】f（f（-2））=f（10-2）=f（■）=lg■=-2【说明】这类题型是求分段函数函数值的经典题型，求分段函数

2、的函数值时，首先应确定自变量在定义域中所在的范围,然后按相应的对应法则求值。f（x）是分段函数,要求f{f[f（a）]}需确定f[f（a）]的取值范围,为此又需f（a）确定取值范围,然后根据其所在定义域代入相应的解析式,逐步求解。例2：（2009年高考山东卷理科）定义在r上的函数f（x）满足f（x）=log2（1-x）,x≤0f（x-1）-f（x-2）,x>0，则f（2009）的值为()a.-1b.0c.1d.2【答案】c【解析】由已知得f（-1）=log2=1,f（0）=0,f（1）=f（0）-f（-1）=-1,f（2）=f（1）-f（0）=-1,f（3）=f

3、（2）-f（1）=-1-（-1）=0,f（4）=f（3）-f（2）=0-(-1),f（5）=f（4）-f（3）=1,f（6）=f（5）-f（4）=0,由于函数f（x）的值以6为周期重复性出现,所以f（2009）=f（5）=1,故选c。【说明】本题作为命题看似考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算，但本质是考查分段函数的周期性，利用的方法是枚举去寻找规律。二、分段函数与不等式分段函数本身蕴含着分类讨论与数形结合的重要数学思想方法，而解不等式有时又伴随着参数的问题，这也会用到分类讨论与数形结合思想。如果把分段函数与不等式相结合将能更好地体现这一思想方法。例3：（2

4、009年高考天津卷理科)已知函数f（x）=x2+4x,x≥04x-x2,xf（a）则实数a的取值范围是a.（-∞,-1）∪（2,+∞）b.（-1,2）c.（-2,1）d.（-∞,-2）∪（1,+∞）【答案】c【解析】由题知f(x)在r上是增函数，因而2-a2>a，解得-2　　【说明】本小题考查分段函数的单调性运用以及一元二次不等式的求解。例4：（2010年高考天津卷理科）设函数f（x）=log2xx>0log■（-x）xf（-a）,则实数a的取值范围是（）a.（-1，0）∪（0，1）b.（-∞，-1）∪（1,+∞）c.（-1，0）∪（1,+∞）d.（-∞，-1）

5、∪（0,1）【答案】c【解析】当a>0时，由f（a）>f（-a）得：log2a>log■a,即log2a>log2■,即a>■，解得a>1；当af（-a）得：log■（-a）>log2（-a），即log2(-■)>log2（-a），即-■>-a，解得-1　　【说明】本小题考查函数求值、不等式求解、对数函数的单调性等基础知识，考查分类讨论的基本解题方法。三、分段函数与方程的根方程的根与函数的零点是一一对应的，在新课标教材中，这是一个基础的知识点，其中的含参问题目更是高考热点，解决含参问题目主要也是利用数形结合来探根。例5：（2011年高考北京卷理科）已知函数f（x

6、）=■,x≥2（x-1）3,x<2若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则数k的取值范围是【答案】（0，1）【解析】画出函数图像与直线y=k,观察,可得结果,考查了函数与方程、数形结合的数学思想。【说明】（1）分段函数是一个函数,只有一个图像,作图时只能在同一坐标系中,而不能将各段函数分别作在不同的坐标系中。（2）分段函数的定义域有几段,其图像就由几条曲线组成,作图时要注意每段的自变量的取值范围,特别是不连续的函数的图像每段端点的虚实。总之，分段函数的应用题，近些年在高考中出现的频率比较高，如2011年新课标理科卷的第19题、2011年湖北卷的第17题等应

7、用题，限于篇幅，此不赘述。