泛函分析主要内容

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1、泛函分析课程的主要内容【摘要】近年来随着我国经济的迅速发展，我们与世界的联系越来越紧密。特别是与世界的多个发达国家的接触越来越多，这就要求我们对各个学科领域都有一定的了解。而且我们还要知道如何应用它们去解决一些实际的问题。例如，泛函分析。泛函分析理论是为克服黎曼积分理论的缺陷而创立的新积分理论，其基础是集合与测度理论，所以也可以称为测度与积分理论。它是数学专业特别是将来从事与分析数学有关系的科技工作者的必备工具。泛函分析的一个重要特点就是比较抽象，是数学专业学生普遍反映比较难的学科，特别课后习题更是检验学生动手能力的标尺。有些比较难的题目学生更是无从下手。下面

2、我将对泛函分析中学过的主要内容及其与其他学科的联系进行比较系统的整理。一泛函分析中的重要空间1度量空间（1）度量空间的定义：　设为一个集合，一个映射d：X×X→R。若对于任何属于，有　　a）（正定性）d()0,且d()=0当且仅当x=y；　　b）（对称性）d()=d()；　　c）（三角不等式）d()d()+d（）　　则称d为集合X的一个度量（或距离）。称偶对（X，d）为一个度量空间，或者称X为一个对于度量d而言的度量空间。（2）度量空间的进一步例子a）离散的度量空间b）有界函数空间B（A）c）序列Sd）可测函数空间e）C2赋范线性空间（1）赋范线性空间的定义：

3、设X是实（或复）的线性空间，如果对每个向量X有一个确定的实数，记为a)b)c)则称3巴拿赫空间（1）巴拿赫空间的定义：完备的线性赋范空间称为巴拿赫空间。是用波兰数学家巴拿赫的名字命名的4内积空间（1）内积空间的定义：　设是域上的线性空间，对任意，有一个中数与之对应，使得对任意；满足a)；＝0，当且仅当　；a)＝；b)；c)＝＋；称是上的一个内积，上定义了内积称为内积空间。5Hilbert空间（1）Hilbert空间的定义：设是内积空间，对任意，命是完备的。则称H是Hilbert空间二泛函分析中的算子1有界线性算子2自伴算子，酉算子和正常算子3共轭算子4逆算子5

4、紧急和全连续算子三泛函分析与其他学科的联系1泛函分析中的压缩映射原理及其应用：压缩映射原理的定义：设X是完备的度量空间，T是X上的压缩映射，那么T有且只有一个不动点，即方程有且只有一个解应用：a)证明数学分析中的隐函数存在定理b)证明常微分方程解的存在性和唯一性定理c)提供了一些求方程的解的存在性的方法-逐次逼近法，即只要取其实泛函分析与数学中的其他学科也有非常密切的联系，例如，拓扑学等等。这里我就不介绍了。参考文献齐霄霏等，实变函数与泛函分析基础，第二版，中国时代经济出版社，2007.5程基襄等，实变函数与泛函分析基础，第二版，高等教育出版社，2003泛函分

5、析结课论文数理学院数学系08级5班赵旭学号：08020169