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1、★精品文档★2012届高考数学备考复习：函数与方程思想专题七：思想方法专题第一讲函数与方程思想【思想方法诠释】函数与方程都是中学数学中最为重要的内容。而函数与方程思想更是中学数学的一种基本思想，几乎渗透到中学数学的各个领域，在解题中有着广泛的应用，是历年来高考考查的重点。1．函数的思想函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、
2、图象变换等。2．方程的思想2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创14/14★精品文档★方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题，方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。3．函数思想与方程思想的联系函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来龙去脉解决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f(x)=0，就是求函数y=f(x)的零点，解不
3、等式f(x)>0(或f(x)4．函数与方程思想解决的相关问题（1）函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：①借助有关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；②在问题研究中通过建立函数关系式或构造中间函数；把研究的问题化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。（2）方程思想在解题中的应用主要表现在四个方面：①解方程或解不等式；②带参变数的方程或不等式的讨论，常涉及一元二次方程的判别式、根与系数的关系、区间根、区间上恒成立等知识应用；③需要转化为方程的讨论，如曲线的位置关系；④构造方程或不等式求解问题。2016全新精品资料-全新公
4、文范文-全程指导写作–独家原创14/14★精品文档★【核心要点突破】要点考向1：运用函数与方程的思想解决字母或式子的求值或取值范围问题例1：若a、b是正数，且满足ab=a+b+3，求ab的取值范围。思路精析：用a表示b→根据b＞0，求a的范围→把ab看作a的函数→求此函数的值域。解析：方法一：（看成函数的值域）即a＞1或a＜-3.又a＞0,∴a＞1,故a-1＞0。当且仅当a-1=，即a=3时取等号.又a＞3时,a-1++5是关于a的单调增函数,∴ab的取值范围是[9,+∞).方法二(看成不等式的解集)∵a,b为正数,∴a+b≥2,又ab=a+b+3,∴ab≥2+3.即解得方法三:
5、若设ab=t,则a+b=t-3,∴a,b可看成方程的两个正根.从而有,即解得t≥9,即ab≥9.2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创14/14★精品文档★注(1)求字母(或式子)的值问题往往要根据题设条件构建以待求字母(式子)为元的方程(组),然后由方程(组)求得.(2)求参数的取值范围是函数、方程、不等式、数列、解析几何等知识中的重要问题。解决这类问题一般有两条途径，其一，充分挖掘题设条件中的不等关系，构建以待求字母为元的不等式（组）求解；其二，充分应用题设是的等量关系，将待求参数表示成其他变量的函数，然后，应用函数知识求值域.(3)当问题中出现两数积与这
6、两数和时，是构建一元二次方程的明显信号，构造方程后再利用方程知识可使问题巧妙解决.(4)当问题中出现多个变量时,往往要利用等量关系去减少变量的个数,如最后能把其中一个变量表示成关于另一个变量的表达式,那么就可用研究函数的方法将问题解决.要点考向2：运用函数与方程思想解决方程问题例2：已知函数或与的图象在内至少有一个公共点，试求的取值范围。思路精析：化简的解析式→令=→分离→求函数的值域→确定的范围解析：与的图象在内至少有一个公共点，即有解，即令=，2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创14/14★精品文档★当且仅当，即cosx=0时“=”成立。∴当a≥2时，与
7、所组成的方程组在内有解，即与的图象至少有一个公共点。注：（1）本例中把两函数图象至少有一个公共点问题转化为方程有解问题．即把函数问题用方程的思想去解决．（2）与本例相反的一类问题是已知方程的解的情问题，求参数的取值范围．研究此类含参数的三角、指数、对数等复杂方程解的问题的，通常有两种处理思路：一是分离参数构建函数，将方程有解转化为求函数的值域；二是换元，将复杂方程问题转化为熟悉的二次方程；进而利用二次方程解的分布情况构建不等式（组）或构造函数加以解决．要点考向3：运用函数与方程思
