2014年高中数学基础达标测试（湘教版选修1-1）：3.3.3《三次函数的性质单调区间和极值》

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1、1．三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图，则它的导函数f′(x)的图象最可能是(　　)．解析　由f(x)图象可知，f(x)在(－∞，1)上为减函数，(1,3)上为增函数，(3，＋∞)上为减函数，所以f′(x)在(－∞，1)和(3，＋∞)上为负，在(1,3)上为正．故选C.答案　C2．已知函数f(x)＝x3－3x＋3，当x∈时，函数f(x)的最小值为(　　)．A.B．－5C．1D.解析　f′(x)＝3x2－3，由f′(x)>0得x>1或x<－1，由f′(x)<0得－1

2、上递增，在[－1,1]上递减，在上递增．f＝，f(1)＝1，∴f(x)在上的最小值为1.答案　C3．函数f(x)＝ax3－2x在[2,8]上是减函数，则(　　)．A．a＝B．a＝0C．a≤D．a<0解析　f′(x)＝3ax2－2，由题意知3ax2－2≤0在x∈[2,8]上恒成立，即a≤.在x∈[2,8]上的最小值为，∴a≤.答案　C4．f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝________.解析　f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0，解得x＝－2或x

3、＝2.又f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，f(3)＝－1，∴M＝24，m＝－8，M－m＝32.答案　325．若函数f(x)＝x3＋ax在R上有两个极值点，则实数a的取值范围为________．解析　f′(x)＝3x2＋a，由题意知f′(x)＝0有两个不相等的实数根．∴a<0.答案　(－∞，0)6．设f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的导数为f′(x)，若y＝f′(x)的图象关于直线x＝－对称，且f′(1)＝0.(1)求实数a，b的值；　(2)求函数f(x)的极值．解　(1)f(x)＝2

4、x3＋ax2＋bx＋1，f′(x)＝6x2＋2ax＋b＝6(x＋)2＋b－，又f′(x)图象关于x＝－对称，∴－＝－，∴a＝3.又f′(1)＝0，∴2＋a＋b＋1＝0，∴b＝－12.(2)由(1)知f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1.f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x－1)(x＋2)．由f′(x)＝0得x1＝1，x2＝－2.当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，当x∈(－2,1)时，f′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0.∴f(x)在(－∞，－2)上递增，在(－2,1)上递减，(1

5、，＋∞)上递增．∴当x＝－2时，f(x)取得极大值f(－2)＝21，当x＝1时，f(x)取得极小值f(1)＝－6.7．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是(　　)．A．－37B．－29C．－5D．以上都不对解析　因为f′(x)＝6x(x－2)，所以f(x)在(－2,0)上为增函数，在(0,2)上为减函数，x＝0时，f(x)＝m最大，所以m＝3.又f(－2)＝－37，f(2)＝－5，所以f(－2)＝－37最小，选A.答案　A8．已知函

6、数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的(　　)．A．极大值为，极小值为0　B．极大值为0，极小值为C．极大值为－，极小值为0　D．极大值为0，极小值为－解析　因为f′(x)＝3x2－2px－q，令f′(1)＝3－2p－q＝0，得2p＋q＝3.①因为f(x)＝x3－px2－qx过点(1,0)，所以1－p－q＝0，即p＋q＝1.②由①、②联立求得p＝2，q＝－1，所以f(x)＝x3－2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1.令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝1.当x变化时，

7、f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增极大值为单调递减极小值为0单调递增答案　A9．函数f(x)＝x3－mx2＋m－2的单调递减区间是(0,3)，则m＝________.解析　f′(x)＝3x2－2mx＝x(3x－2m)，由题意可知f′(x)＝0的解为x＝0或x＝3，所以f′(3)＝3(9－2m)＝0，解得m＝，代入检验满足题设条件．答案　10．如图为函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象，f′(x)为函数f(x)的导函数，则不等式x·f′(x)

8、<0的解集为________．解析　由图可知，函数f(x)的增区间为(－∞，－)，(，＋∞)，减区间为(－，)，即当x<－或x>时f′(x)>0，当－