小波变换 第0章 预备知识

《小波变换 第0章 预备知识》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第0章预备知识小波分析基础1.自1822年。Fourier发表“热传导解析理论”以来，傅里叶变换一直是信号处理领域中最完美、应用最广泛、效果最好的一种分析手段。但傅里叶变换只是一种纯频域的分析方法，它在频域的定位性是完全准确的（即频域分辨率最高），而在时域无任何定位性（分辨能力）。--即：傅里叶变换所反映的是整个信号全部时间下的集体频域特征，而不能提供任何局部时间段上的频率分析。2．当一个函数用δ函数展开时。它在时间域的定位性是完全准确的，而在频域无任何定位性。--即：δ函数分析所反映的只是信号在全部频率上的整体时域特征，而不能提供任何频率段所对应的时间信息。3.音乐信号：不同

2、时间演奏不同音符语音信号：不同时间对应不同音节探地信号：在目标出现位置对应一个回波信号等-----时变信号：频域特性随时间变化。因此，对时变信号分析，通常需要提取某一个时间段（或瞬间）的频域信息，或某一频率段所对应的时间信息。-----分析方法应介于傅里叶分析和δ函数之间，并具有一定的时间和频率分辨率的基函数来分析。4.研究信号在局部时间范围的频域特征：1946年Gabor变换→短时傅里叶变换：shorttimefouriertransformSTFT加窗傅里叶变换特点：STFT的窗函数的大小和形状均与时间和频率无关-----固定不变实际需要：高频信号：时间短---------

3、---小时间窗分析低频信号：时间长------------大时间窗分析------变时间窗即STFT已无法处理时变信号。另外，在进行数值计算时-----基函数离散------节约计算时间及存储量Gabor基无论怎样离散都不能构成一组正交基小波变换不仅继承和发展了STFT的局部化思想，而且克服了窗口大小不随频率变化，缺乏正交基的缺点，是一种比较理想的进行信号处理的数学工具。总之：基于小波变换的小波分析技术是泛函分析、调和分析、数值分析等半个多世纪以来发展的最完美结晶，是正在发展中的新的数学分支。在工程应用领域，特别是在信号处理、图像处理、模式识别、语音识别、量子物理、地震勘测、流

4、体力学、电磁场、CT成像、机器视觉、机械故障诊断与监控、分形、数值计算等领域，在工具及方法上的重大突破。涉及到的基础知识：泛函分析、傅里叶分析、信号与系统、数字信号处理。0.1函数空间泛函分析是20世纪初发展起来的一个重要的数学分支，它以集合论为基础，其基本概念涉及空间、基底和框架等。小波的理论和实践涉及了大量的泛函知识,。对泛函，我们不作严格的定义和证明，并作尽可能通俗的解释。泛函空间或函数空间的一个直观理解是具有特定意义，即赋予了某种运算法则的一个集合。当然，不能把集合就叫做函数空间。理解和使用小波，函数空间的概念是一定要掌握的，即使对工科学生也是这样,多掌握一些数理知识对

5、以后的研发工作是有益的。泛函的定义　　简单的说，泛函就是定义域是一个函数集，而值域是实数集或者实数集的一个子集，推广开来，泛函就是从任意的向量空间到标量的映射。也就是说，它是从函数空间到数域的映射。0.1.0常用符号及含义－实数的集合，即实轴－整数的集合－复数的集合，Z+－正整数集－n维欧氏空间（所有实向量的集合）－n维复向量空间内积：＜x,y＞=∫Rx(t)y*（t）dty*（t）表示y的共轭。0.1.1线性空间（要说明域？）定义X为一非空集合，对于任何X，若满足定义的加法和数乘运算，又满足下面7个公理：（1）；（2）（）+=()；（3）＝；（4）（）＝；（5）（）＝；（6）

6、1；（7）存在唯一的零向量，对所有的向量，都满足.则称X为线性空间或向量空间。注释：1）定义中的0是零向量，并非代数中的0。2）几何向量与X空间中的函数一样，满足上述定义，均可简单地统称为向量，也称作点。3）定义中的加法运算是使两个向量相加产生一个新的向量，并不一定限于代数和运算；而数乘也由一个数乘以一个向量产生一个新的向量。4）没有附加性质的向量空间是无实际意义的，引入内积使我们可以在向量空间进行几何运算和分析,而这些运算和分析在信号处理中是常用到的。由内积又可以导出范数，而距离空间又可以对向量进行度量。0.1.2距离空间定义设X是任意一个集合，若对任何X,都按一定的规律与一

7、个实数相对应，且满足以下三公理：（1）非负性：；当且仅当时，有＝0；（2）对称性：＝；（3）三角不等式：X，有＋则称为之间的距离，称X为距离空间。注释：根据定义，距离空间中，任意两点之间都有一个距离，包括通常意义下的距离，但又比通常意义下的距离的概念更广泛，它是欧氏空间中距离概念的推广和抽象。［例0－1］设是非空实数集合，对其中任意两个实数，定义距离＝显然满足距离公理，这是通常意义下的距离，称为欧氏距离。于是，构成距离空间。［例0－2］在空间中按另一方式定义距离：＝显然，也满足距离3公理。［