小波变换及分析原理知识

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1、小波分析原理1.1小波变换及小波函数的多样性小波是函数空间中满足下述条件的一个函数或者信号：式中，表示非零实数全体，是的傅里叶变换，成为小波母函数。对于实数对，参数为非零实数，函数称为由小波母函数生成的依赖于参数对的连续小波函数，简称小波。其中：称为伸缩因子；称为平移因子。对信号的连续小波变换则定义为其逆变换（回复信号或重构信号）为信号的离散小波变换定义为其逆变换（恢复信号或重构信号）为其中，是一个与信号无关的常数。显然小波函数具有多样性。在MATLAB小波工具箱中提供了多种小波幻术，包括Harr小波，Daubechei

2、es（dbN）小波系，Symlets（symN）小波系，ReverseBior（rbio）小波系，Meyer（meyer）小波，Dmeyer（dmey）小波，Morlet(morl)小波，ComplexGaussian(cgau)小波系，Complexmorlet(cmor)小波系，Lemarie（lem）小波系等。实际应用中应根据支撑长度、对称性、正则性等标准选择合适的小波函数。-37-1.2小波的多尺度分解与重构1988年Mallat在构造正交小波基时提出多尺度的概念，给出了离散正交二进小波变换的金字塔算法，其小波分

3、析树形结构如图1所示，即任何函数都可以根据分辨率为的的低频部分（近似部分）和分辨率为下的高频部分（细节部分）完全重构。多尺度分析时只对低频部分作进一步分解，而高频部分则不予考虑，分解具有关系：其中代表信号，代表低频近似部分，代表高频细节部分，代表分解层数。对信号采样后，可得到在一个大的有限频带中的一个信号，对这个信号进行小波多尺度分解，其实质就是把采到的信号分成两个信号，即高频部分和低频部分，而低频部分通常包含了信号的主要信息，高频部分则与噪音及扰动联系在一起。根据分析的需要，可以继续对所得到的低频部分进行分解，如此又得

4、到了更低频部分的信号和频率相对较高部分的信号。信号分解的层数不是任意的，对于长度为德信号最多恩给你分成层。实际应用中，课根据实际需要选择合适的分解层数。第9章小波变换基础9.1小波变换的定义给定一个基本函数，令（9.1.1）式中均为常数，且。显然，是基本函数先作移位再作伸缩以后得到的。若不断地变化，我们可得到一族函数。给定平方可积的信号，即，则的小波变换（WaveletTransform，WT）定义为（9.1.2）-37-式中和均是连续变量，因此该式又称为连续小波变换（CWT）。如无特别说明，式中及以后各式中的积分都是从

5、到。信号的小波变换是和的函数，是时移，是尺度因子。又称为基本小波，或母小波。是母小波经移位和伸缩所产生的一族函数，我们称之为小波基函数，或简称小波基。这样，（9.1.2）式的又可解释为信号和一族小波基的内积。母小波可以是实函数，也可以是复函数。若是实信号，也是实的，则也是实的，反之，为复函数。在（9.1.1）式中，的作用是确定对分析的时间位置，也即时间中心。尺度因子的作用是把基本小波作伸缩。我们在1.1节中已指出，由变成，当时，若越大，则的时域支撑范围（即时域宽度）较之变得越大，反之，当时，越小，则的宽度越窄。这样，和联

6、合越来确定了对分析的中心位置及分析的时间宽度，如图9.1.1所示。图9.1.1基本小波的伸缩及参数和对分析范围的控制-37-(a)基本小波，（b），,(c)不变，,(d)分析范围这样，（9.1.2）式的WT可理解为用一族分析宽度不断变化的基函数对作分析，由下一节的讨论可知，这一变化正好适应了我们对信号分析时在不同频率范围所需要不同的分辨率这一基本要求。（9.1.1）式中的因子是为了保证在不同的尺度时，始终能和母函数有着相同的能量，即令，则，这样，上式的积分即等于。令的傅里叶变换为，的傅里叶变换为，由傅里叶变换的性质，的傅

7、里叶变换为：（9.1.3）由Parsevals定理，（9.1.2）式可重新表为：（9.1.4）此式即为小波变换的频域表达式。9.2小波变换的特点下面，我们从小波变换的恒Q性质、时域及频率分辨率以及和其它变换方法的对比来讨论小波变换的特点，以帮助我们对小波变换有更深入的理解。比较（9.1.2）和（9.1.4）式对小波变换的两个定义可以看出，如果在时域是有限支撑的，那么它和作内积后将保证在时域也是有限支撑的，从而实现我们所希望的时域定位功能，也即使反映的是在附近的性质。同样，若-37-具有带通性质，即围绕着中心频率是有限支撑

8、的，那么和作内积后也将反映在中心频率处的局部性质，从而实现好的频率定位性质。显然，这些性能正是我们所希望的。问题是如何找到这样的母小波，使其在时域和频域都是有限支撑的。有关小波的种类及小波设计的问题，我们将在后续章节中详细讨论。由1.3节可知，若的时间中心是，时宽是，的频率中心是，带宽是，那么的时间中心仍是，但时宽变