小波变换知识总结

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1、变换的是什么东西呢？是基，也就是basis。在线性代数里，basis是指空间里一系列线性独立的向量，而这个空间里的任何其他向量，都可以由这些个向量的线性组合来表示。傅立叶展开的本质，就是把一个空间中的信号用该空间的某个basis的线性组合表示出来。变换的本质就是在搞基。向量空间中的每一个向量都是向量基的线性组合，即把一些常数与向量基相乘，然后计算点积。对信号的分析就包括计算这些常数（变换系数、傅里叶系数、小波系数）。合成或者说重构就是计算线性组合方程。N维空间的向量基中有N个向量。平稳信号中的频

2、率分量一直保持不变。区别于非平稳信号。傅里叶变换（FT）：傅里叶变换后的频谱图上出现毛毛刺，是因为信号中的频率突变引起的。傅里叶变换仅仅给出了信号的频率分量，却没有给出这些频率分量出现的时间（傅里叶变换无任何时间分辨率）。因此对于非平稳信号，傅里叶变换是不合适的。当且仅当我们仅仅关心非平稳信号中的频率分量而不关心其出现的时间，傅里叶变换才可用于处理非平稳信号。根据不确定性原理（测不准原理）：（1）在任意一个时间点，我们不能确定哪个频率分量存在；我们能做到的是在一个给定的时间段内确定哪个频率分量存

3、在；（2）在时频分析中，要想取得高的时间分辨率就必须牺牲频率分辨率，反之亦然。高频信号在时间域内更易处理，而低频信号在频率域内更易处理。傅里叶变换：公式中的指数项还可写成：所以我们实际要做的就是用一些复数表达式叠加出原始信号，这些复数表达式包含了频率的正弦和余弦部分。然后对乘积积分。如果积分结果值很大，说明信号在该频率处有一个大的频谱分量。傅里叶变换是二维的，如果再加上幅度就是三维的。图中以“尺度”为标签的轴代表频率，尺度越大频率越低，因此，图中的小尖峰反映了信号中的高频分量；大尖峰则反映了信号

4、中的低频分量。高频信号的尺度分辨率很高，高尺度分辨率对应低频率分辨率。Ø这是一个无限循环的函数。1，cosx,sinx,cos2x…..就是傅立叶级数。傅立叶级数应用如此广泛的主要原因之一，就是这些functionbasis（函数基）是正交的。即两个函数的内积为0：=0。信号f(x)是已知的，傅立叶级数是已知的，我们怎么求a1呢？很简单，把方程两端的所有部分都与cosx的内积，即：然后我们发现，因为正交的性质，右边所有非a1项全部消失了，因为他们和cosx的内积都是0！所有就简化为傅立叶变换就是

5、用一系列三角波来表示信号方程的展开，这个信号可以是连续的，可以是离散的。傅立叶所用的functionbasis是专门挑选的，是正交的，是利于计算coefficients的。但千万别误解为展开变换所用的basis都是正交的，这完全取决于具体的使用需求，比如泰勒展开的basis就只是简单的非正交多项式。短时傅里叶变换（STFT）：假定非平稳信号在一段时间内是平稳的短时傅里叶变换（也叫加窗傅里叶变换）和傅里叶变换只有一个微小的不同，就是在短时傅里叶变换中，信号被划分成足够小的片段，这些片段中的信号可以

6、看成平稳信号，基于这个原因，就需要一个窗函数，窗的宽度必须和信号片段的宽度相等，这样它的平稳性才有效。这个窗函数位于信号的最前端，即窗函数必须时刻存在。表示f和τ的函数：，其中表示对取共轭（对一个复值函数：z(x)=a(x)+jb(x)，其中a(x)和b(x)都是实值函数，那么z(x)的共轭为：z*(x)=a(x)-jb(x)）。（1）短时傅里叶变换和傅里叶变换一样，图像以频率坐标轴的中线为对称轴。（2）STFT的时间分辨率完全由窗口ω（t）的支撑长度决定，窗口（的支撑长度）越短，时间分辨率越高

7、，频率分辨率越低。当其支撑集覆盖整个时间轴时，STFT就蜕变为FT。当窗口函数选为Gaussian高斯函数时，时、频窗口宽度之积达到最小，这也是时频分析中经常使用Gaussian函数的原因。短时傅里叶变换的缺陷：（1）又可以归结到海森堡的不确定性原理（测不准原理）上：在任意一个时间点，我们不能确定哪个频率分量存在。这是一个有关分辨率的问题。（2）窗口越短，时间分辨率越高，频率分辨率越低。选窗函数又是个问题。STFT在变换过程中采用固定的窗口，一旦选定窗函数，相应的时间分辨率就确定了。（3）STF

8、T无论如何离散化其变换核ω(t)eiωt，都无法得到一组正交基，这就大大的降低了其实用性。→小波变换小波框架，在某些场合又被称为小波基。小波分析常被业界称为“数学显微镜”,这是因为：当它在高频时，有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率；反之，在低频时，有较低的时间分辨率和较高的频率分辨率（高频高时、低频低时）。这种“变焦”特性，使得小波变换对非平稳信号具有很强的自适应性。多分辨率分析被用来处理在高频信号中获得较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，在低频信号中获得较高的频率分辨率较低的时间分辨率。这个