专题1.8 计数原理与古典概率-2018届浙江高三数学三轮复习专题突破（解析版）

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1、专题1.8计数原理与古典概率一、排列组合1.排列组合的定义：(1)排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)排列数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作.(3)组合从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．(4)组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作.【说明】　排列与组

2、合最根本的区别在于“有序”和“无序”．2．活用排列数与组合数的公式及性质公式排列数公式A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝组合数公式C＝＝＝性质(1)A＝n！；(2)0！＝1(1)C＝1；[来源:Z,xx,k.Com](2)C＝；(3)C＋C＝C备注n，m∈N*，且m≤n3．破解排列、组合问题的十种方法与技巧(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部

3、；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件．二、熟记二项式定理及通项1.二项式定理：(1)定理公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)叫做二项式定理．(2)通项Tk＋1＝Can－kbk为展开式的第k＋1项．[说明]　①Can－rbr是第r＋1项，而不是第r项；②通项公式中a，b的位置不能颠倒；③通项公式中含有a，b，n，r，Tr＋1五个元素，只要知道其中的四个，就可以求出第五个，即“知四求一”．2．活用二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即C＝C.(2)增减

4、性与最大值：二项式系数C，当k＜时，二项式系数是递增的；当k≥时，二项式系数是递减的．当n是偶数时，中间一项取得最大值．当n是奇数时，中间两项Cn和Cn相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C＋C＋…＋C＝2n.[来源:Z+xx+k.Com]二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋…＝C＋C＋…＝2n－1.三．古典概型1.计算三注意：（1）本试验是否是等可能的；（2）本试验的基本事件有多少个；（3）事件A是什么，它包含的基本事件有多少个．2

5、.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；(2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”、“至少”型题目，用间接法就显得比较简便．四.随机变量及随机变量的分布列、均值、方差1．相互独立事件与n次独立重复试验(1)若A1，A2，…，An是相互独立事件，则P(A1·A2·…·An)＝P(A1)·P(A2)·…·P(An)．(2)如果在一次试验中事件A发生的概率为p，事件A不发生的概率为1－p，那么在

6、n次独立重复试验中事件A发生k次的概率为：Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k.2．离散型随机变量的分布列、期望与方差的基本公式：①E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…；②D(ξ)＝(x1－E(ξ))2p1＋(x2－E(ξ))2p2＋…＋(xn－E(ξ))2pn＋…；③E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，D(aξ＋b)＝a2D(ξ)；④二项分布：ξ～B(n，p)，则P(ξ＝k)＝Cpk(1－p)n－k，E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p).1．【2018届浙江省台州市上学期期末】有位男生，位女生和位老师站在一起照相，要求老师

7、必须站中间，与老师相邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是（）A.B.C.D.【答案】D点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.【回扣要点】排列组合应用题2．马路上有编号为1，2，3，4…，9的9只路灯，为节约用电，现要求把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法有()A.7种B.8种

8、C.9种D.10种【答案】D【解析】9只路灯关闭3只，有6只亮着的的灯，6只灯除去两边还有5个空，插入3只熄灭的灯，即种观灯的方法.选D.学*科0网【回扣要点】排列组合应用题3．【2018届云南凉山州高中毕业班第二次检测】某校在教师交