几何问题的常用方法

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1、几何问题的常用方法1.遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．2.遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．3.遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．4.过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5.截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利

2、用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．一、中点问题：1、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质例一：如图在△ABC中，D是BC中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BE=CF，求证AB=AC.2、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”例一：在三角形ABC中，AD是三角形的高，点D是垂足，点E、F、G分别是BC、AB、AC的中点，求证：四边形EFGD是等腰梯形。-15-3、

3、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”例一：已知：如图4所示，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。求证：四边形EFGH是平行四边形。4、遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形例一：如图6所示，已知梯形ABCD，AD∥BC，点E是CD的中点，连接AE、BE。求证：S△ABE=S四边形ABCD。5、圆中遇到弦的中点，常联想“垂径定理”例一：如图8所示，是⊙O的弦，点是AB的中点，若，，则⊙O的半径为cm．6、遇到中点，联想共边等高的两个三角形面积相等例一：如图9所示，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连

4、AF、CE交于点G，则等于：【】-15-7、有中点时常构造垂直平分线。例一：如图2所示，在△ABC中，AD是BC边上中线，∠C=2∠B.AC=BC。求证：△ADC为等边三角形。分析：D是BC边的中点，过点D作DE⊥BC交AB于点E.连接CE,则有EB=EC.有∠ABC=∠ECB=∠ACB,则有△EDC≌△EAC,从而∠BAC=90°。故∠ACB=60°，问题得证。习题精练：1.在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC中点，MN⊥AC于点N，则MN等于【】A．B．C．D．2.如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.3.

5、在Ｒｔ⊿ABC中，∠A=90°,AC=AB,M、N分别在AC、AB上。且AN=BM.O为斜边BC的中点.试判断△OMN的形状，并说明理由.-15-4.如图，AE为正方形ABCD中∠BAC的平分线，AE分别交BD、BC于点F、E，AC、BD相交于点O.求证：OF=CE.5.如图四边形ABCD中AD=BC，M、N是AB、CD中点，延长AD、BC与MN延长线交于E、F，求证：∠AEM=∠F。6.如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠C+∠D=900，E、F是AB、CD中点，求证：2EF=CD–AB。7.如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，E是AC延长线上一点，D是BC中点，延长ED交A

6、B与F，求证：BF=CE。-15-二、截长补短问题截长补短法是几何证明题中十分重要的方法。通常来证明几条线段的数量关系。截长法：（1）过某一点作长边的垂线（2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。……补短法：（1）延长短边。（2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。……例一：如图，AC∥BD，EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA，CD过点E，求证;AB＝AC+BD例二：如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证：CD⊥AC习题精练：1.如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分，求证：2.如图所示，已知：Rt△ABC中，∠C=

7、90°，AC=BC，AD是∠A的平分线．求证：AC+CD=AB．-15-3.如图，已知△ABC是等边三角形，∠BDC＝120º，说明AD=BD+CD的理由4.已知，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC.求证：∠BAD+∠BCD=180°.5.如图，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB.求证：CD=AD+BC.6.已知，如图，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，AB+BC=2BD.求证：∠BAP＋∠BC