鱼群捕捞问题数学建模

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1、问题一鱼群捕捞问题一、问题的提出大量的海洋生物（例如鱼、虾等）为人类所消费。如果捕捞率大于自然增长率，则海洋生物群将减少，甚至可能导致某种群的灭绝。许多国际机构极为关心这类问题，他们想知道能否捕捞某种特定的种群，如果允许捕捞应有什么样的限制。试建立一个数学模型，它将有助于这些机构作出敏感性的决定。假设某种鱼（海洋生物中的一个种群）分4个年龄组，称1龄鱼，……，4龄鱼。各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07，11.55，17086，22.99（克），各年龄组鱼的自然死亡率为0.8，这种鱼为季节性集中产卵反之，平均每条4龄鱼的产卵量为

2、1.109×105（个），3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵，产卵孵化期为每年的最后4个月，卵孵化并成活为1龄鱼，成活率为1龄鱼条数与产卵量之比。渔业管理部门规定只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业。如果每年投入的捕捞能力（如鱼船数等）固定不变，这个单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，比例系数称捕捞强度。常使用一种只能捕捞3龄鱼和4龄鱼的网，并且其捕捞强度系数之比为0.42：1，渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。现在考虑对这种鱼的最优捕捞策略，使得在可持续捕获的前提下年收获量最高。二、问题的假设与分析1

3、.问题假设（1）鱼群总量的增加虽然是离散的，但对大规模鱼群而言，我们可以假设鱼群总量的变化随时间是连续的。（2）查阅有关鳀鱼的资料发现，鳀鱼一般在每年8月开始产卵，从而可以假设鱼群每年在8月底瞬间产卵完毕，卵在12月底全部孵化完毕。（3）龄鱼到来年分别长一岁成为i+1龄鱼，i=1，2，3。（4）4龄鱼在年末留存的数量占全部数量的比例相对很小，可假设全部死亡。（5）连续捕获使各年龄组的鱼群数量呈周期性变化，周期为1年，可以只考虑鱼群数量在1年内的变化情况。-11-1.问题分析（1）符号说明xi（t）：在t时刻i龄鱼的条数，i=1，2

4、，3，4；n：每年的产卵量；k：4龄鱼捕捞强度系数；2ai0：每年初i龄鱼的数量，i=1，2，3，4；（2）对死亡率的理解题中给出鱼的自然死亡率为0.8（/年），它指平均死亡率，即单位时间鱼群死亡数量与现有鱼群数量的比例系数，由假设知，它是一个与环境等其它因素无关的常数；另一方面，鱼群的数量是连续变化的，且1，2龄鱼在全年及3，4龄鱼在后4个月的数量只与死亡率有关。由此可知，各龄鱼的变化满足：=-0.8x（t），i=1，2，3，4（3）对捕捞强度系数的理解单位时间4龄鱼捕捞量与4龄鱼群总数成正比，比例系数即是捕捞强度系数k，它是一

5、定的，且只在捕捞期内（即每年的前8个月）捕捞3，4龄鱼。所以，一方面捕捞强度系数k决定了3，4龄鱼在捕捞期内的数量变化规律为：=-（0.8+0.42k）x（t）=-（0.8+k）x（t）另一方面决定了t时刻捕捞的3，4龄鱼的数量为：0.42kx3（t）和kx4（t）。（4）对成活率的理解只有3，4龄鱼在每年的8月一次产卵，因此可将每年的产卵量n表示为：题目中已经说明了成活率为：，所以每年初1龄鱼的数量为：x1（0）=n×二、模型的建立-11-可持续捕捞要求每年初渔场中各年龄组鱼群条数都一样，既要求x1（0）=x0（1），x2（0）

6、=x1（1），x3（0）=x2（1），x4（0）=x3（1）。在这种平衡状态下，捕捞强度就影响年收获量。要得到最高年收获量，考虑到前面的方程，可以得到以下的优化模型：max（total（k））=17.86t∈[0，1]，x1（0）=n×t∈[0，1]，x2（0）=x1（1）t∈[0，2/3]，x3（0）=x2（1）s.t.t∈[2/3，1]，x3（-）=x3（+）t∈[0，2/3]，x4（0）=x3（1）t∈[2/3，1]，x4（-）=x4（+）二、模型的求解Module[{x1，x2，x31，x32，x41，x42，t，a10，

7、a20，a30，a31，a40，a41，nn，k，t3，t4，total，tdd，aa}，x1[t_]=x1[t]/.DSolve[{x1′[t]==-0.8x1[t]，x1[0]==a10}，x1[t]，t，][[1]]；a20=x1[1]；x2[t_]=x2[t]/.DSolve[{x2′[t]==-0.8x2[t]，x2[0]==a20}，x2[t]，t，][[1]]；a30=x2[1]；aa=DSolve[{x31′[t]==-（0.8+0.42k）x31[t]，x31[0]==a30}，x31[t]，t，]；x31[t_

8、]=x31[t]/aa[[1]]；a31=x31[2/3]；x32[t_]=x32[t]/.DSolve[{x32′[t]==-0.8x32[t]，x32[2/3]==a31}，x32[t]，t，][[1]]；a40=x32[1]；-11-x41[