高中数学解题方法谈：探求随机变量的分布列

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1、探求随机变量的分布列离散型随机变量的分布列是高考的热点，要求我们会求出简单的随机变量的分布列，并计算出期望和方差．而准确写出随机变量的分布列是解决问题的关键．下面分类探求离散型随机变量的分布列（例题中画横线的部分请同学们自己试着完成）．一、由古典概型（等可能事件）构成的分布列求由古典概型构成的分布列，首先要明确随机变量所有可能的取值，然后计算取得每一个值时的概率．例1　将3个不同的小球任意地放入4个不同的大玻璃杯中去，杯子中球的最多个数记为，求的分布列．解：依题意可知，各个杯子中球的最多个数的所有可能值

2、为1，2，3，当时，对应于4个杯子中恰好有三个杯子各放一个球的情形；当时，对应于4个杯子中恰有一个杯子放两个球的情形；当时，对应于4个杯子恰有一个杯子放三个球的情形，从而有；；=______．由以上可得的分布列为______．二、二项分布的分布列二项分布是一种常见的重要的离散型随机变量的分布列，其概率就是独立重复试验次中事件发生次的概率．例2　某批数量较大的商品的次品率为10%，从中任意地连续取出5件，求其中次品数的分布列．分析：显然，依题意可知每次抽取是独立的．解：本题中商品数量较大，故从中任意抽取5

3、件（不放回），可以看作是独立重复试验，因而次品数服从二项分布，即所以的分布列如下表：三、特殊试验构成的分布列除上述两种较常见的分布列外，我们还会遇到一些特殊的分布列，如超几何分布．例3　从一批有10个合格品与3个次品的产品中，一件一件的抽取产品，设各个产品被抽取的可能性相同，在下列三种情况下，分别求出直到抽到合格品为止时所需抽取次数的分布列：（1）每次取出的产品不放回；（2）每次取出的产品都立即放回，然后再取出一件产品；（3）每次取出一件产品后总把一件合格品放入此批产品中；解：（1）的取值为1，2，3，

4、4．当＝1时，即只取一次取到合格品，故；当＝2时，即第一次取到次品，而第二次取到合格品，故；类似地，有；________．所以，随机变量的分布列为_______．（2）的取值为1，2，3，…，．当＝１时，即只取一次取到合格品，故；当时，即第一次取到次品，而第二次取到合格品，故；当时，即第一、二次均取到次品，而第三次取到合格品，故；类似地，当时，即前次均取到次品，而第次取到合格品，故_______．所以，的分布列为______．（3）的取值为1，2，3，4．当＝１时，即只取一次取到合格品，故；当＝２时，即

5、第一次取到次品，而第二次取到合格品，注意第二次取时，这批产品中有11个合格品，2个次品，故；类似地，有_______，________．所以，随机变量的分布列为______．点评：此题是一个综合分析题目，主要考查等可能事件的概率，离散型随机变量的分布列等有关知识及正确区分有放回和无放回抽取．参考答案：例１．，分布列略；例3．（1），，分布列略；（2），分布列略；（3）,，分布列略．