正弦函数、余弦函数的性质之二--周期性

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1、第二十八教时教材：正弦函数、余弦函数的性质之二——周期性目的：要求学生能理解周期函数，周期函数的周期和最小正周期的定义；掌握正、余弦函数的周期和最小正周期，并能求出正、余弦函数的最小正周期。过程：一、复习：y=sinxy=cosx(xÎR)的图象二、提出课题：正弦函数、余弦函数的性质之二——周期性1．（观察图象）1°正弦函数、余弦函数的图象是有规律不断重复出现的；2°规律是：每隔2p重复出现一次（或者说每隔2kp,kÎZ重复出现）3°这个规律由诱导公式sin(2kp+x)=sinx,cos(2kp+x)=c

2、osx也可以说明结论：象这样一种函数叫做周期函数。2．周期函数定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有：f(x+T)=f(x)那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。注意：1°周期函数xÎ定义域M，则必有x+TÎM,且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界；2°“每一个值”只要有一个反例，则f(x)就不为周期函数（如f(x0+t)¹f(x0)）3°T往往是多值的（如y=sinx2p,4p,…,-2p,-4p,…都是周期）周期T中最小的正

3、数叫做f(x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）y=sinx,y=cosx的最小正周期为2p（一般称为周期）三、y=sinωx,y=cosωx的最小正周期的确定[来源:学科网ZXXK]例一求下列三角函数的周期：1°y=sin(x+)2°y=cos2x3°y=3sin(+)解：1°令z=x+而sin(2p+z)=sinz即：f(2p+z)=f(z)f[(x+2)p+]=f(x+)∴周期T=2p2°令z=2x∴f(x)=cos2x=cosz=cos(z+2p)=cos(2x+2p)=cos[2(x+p)

4、]即：f(x+p)=f(x)∴T=p3°令z=+则：f(x)=3sinz=3sin(z+2p)=3sin(++2p)=3sin()=f(x+4p)∴T=4p小结：形如y=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,A¹0,xÎR)周期T=y=Acos(ωx+φ)也可同法求之例二P54例3例三求下列函数的周期：1°y=sin(2x+)+2cos(3x-)2°y=

5、sinx

6、3°y=2sinxcosx+2cos2x-1解：1°y1=sin(2x+)最小正周期T1=py2=2cos(3x-)最小正周期T2=∴T为T1

7、,T2的最小公倍数2p∴T=2pyxo1-1p2p3p-p2°T=p作图注意小结这两种类型的解题规律3°y=sin2x+cos2x∴T=p[来源:Zxxk.Com]四、小结：周期函数的定义，周期，最小正周期五、作业：P56练习5、6P58习题4．83[来源:学科网ZXXK]《精编》P8620、21补充：求下列函数的最小正周期：1．y=2cos()-3sin()[来源:学.科.网]2．y=-cos(3x+)+sin(4x-)3．y=

8、sin(2x+)

9、4．y=cossin+1-2sin2[来源:学+科+网]亲

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