等差等比数列中的解题技巧 毕业论文

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1、毕业论文等差等比数列中的解题技巧指导教师：昆明师范高等专科学校2004年5月等差等比数列中的解题技巧摘要：等差数列与等比数例在数列中占有主要地位，在解题过程中能灵活应用它们的定义、性质、公式解题及先对所用公式进行合理变形或推理出更一般的情形而后用之会起到简洁巧妙的作用，本文讨论等差、等比数列的一些性质和解题方法。关键词：等差数列；等比数列一、等差、等比数列性质的应用性质1：设数列{an}是等差（或等比）数列，公差（或公比）为（或q），an.am是数列中的任意两项，则an=am+(n-m)d（或an=an

2、qn-m）当m=1时，即为等差（或等比）数列的通项公式。例1设数列{an}是公差为-2的等差数列，如果a1+a4+a7++a97=50那么a5+a6+a9++a99的值等于（）A.-182B.-148C.-78D.-82解：a2-a1=a6-a4=a9-a7==a99-a97=2da3+a6+a9++a99=(a1+a4+a7++a97)+66da3+a6++a99=55-66×2=-82故选：D性质2:设an,am,al是等差数列（或等比）数列中的任意三项，若n、m、l成等差数列，则an,am,al成

3、等差（或等比）数列。更一般地有：性质3:设an,am,al,as是等差（或等比）数列中的任意四项：若n+m=l+s，则an+am=al+as(或an.am=al.as)例2已知｛an｝是等比数列，且an>0，a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5 的值等于（）　A.5B.10C.15D.20解：由性质2.=a2a4,=a4a6于是a2a4+2a3a5+a4a6=(a3+a5)2=25又an>0a3+a5=5故选A例3已知等差数列{an}的公差是正数，且a3a7=-12,a4+a6=-4则

4、前20项的和s20=_____解：由性质3.a3+a7=a4+a6=-4a3,a7是方程x2+4x-12=0的两根，又公差d>0a7=2,a3=-6。由性质1d=,a1=a3-2d=-10s20=180性质4:一般地等差数列{an},a1,a2,a3，，an,，中有（1）ma1,ma2,ma3,man,；（2）a1+k,a2+k,a3+k,,an+k,；（3）ma1+k,ma2+k,ma3+k,,man+k,均成等差数列。也即：等差数列同乘以或同加上一个常数或同乘以一个常数，再加上一个常数仍成等差数列。

5、例4已知,,成等差数列，求证：，，成等差数列。证明：要证，，成等差，只要证：，，成等差。即：，，成等差，而,,成等差，故，，成等差。，，成等差。性质5：等比数列{an},有{kan}(k≠0)也成等比数列。性质6：一个等差或等比数列，去掉前面若干项，以后各项依次成等差数列或等比数列。例5：已知等差数列{an}中，前30项的和s30=50,前50项的和s50=30,则前80项的和等于（）A．20B.-20C.80D.-80解：s80=①又30-50=s50-s30=a31+a32++a50=()于是有：a

6、31+a50=-2因为：a31+a50=a80+a1②故将①代入②得：s80=-1×80=-80故选D说明：此题中，去掉前30项，从前31项开始，以后各项仍是等差数列。性质7：等差数列{an}中，若am=n,an=m,则am+n=0。性质8：等差数列{an}中，若sm=n,sn=m,则sm+n=-(m+n)。性质9：在等差数列中，由项数成等差数列的项构成的数列仍是等差数列。在等比数列中，由项数成等差的项构成的数列仍是等比数列。例6.等差数列中，若a5=a,a10=b,求a15解：5,10,15成等差，故

7、a5,a10,a15也是等差数。故：2a10=a5+a15即：2b=a+15a15=2b-a性质10：等差数列中，由相邻的连续的相等的项的和构成的数列仍是等差数列。等比数列中，由相邻的连续的相等的项的和构成的数列仍是等比数列。例7.在等比数列{an}中，已知a1+a2=30,a3+a4=60,求a7+a8的值。解：a1+a2,a3+a4,a5+a6,a7+a8也等比数列a7+a8=(a1+a2)()3=30()3=240性质11:设数列{an}或等差(或等比)数列,公差(或公比)为d(或q)则对任意k∈

8、N(1).数列，，也成等差（或等比）数列,公差(或公比)为k2d(或qk)。(2).数列，，也成等差（或等比）数列，公差（或公比）为kd(或q)。例8.已知等比数列的公比为2,且前4项之和为1,那么前8项之和等于____A.15B.17C.19D.21解:记数列为{an}由性质11,数列a1+a2+a3+a4,a5+a6+a7+a8,a9+a10+a11+a12,是以a1+a2+a3+a4=1为首项，24为公比的等比数列。a5+a6+a7+