等差数列和等比数列的解题技巧

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1、数列的解题技巧编稿：林景飞　　　审稿：张扬　　　　责编：严春梅【命题趋向】　　从2007年高考题可见数列题命题有如下趋势：　　1.等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有.　　2.数列中与之间的互化关系也是高考的一个热点.　　3.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应用.　　4.解答题的难度有逐年增大的趋势,还有一些新颖题型,如与导数和极限相结合等.　　因此复习中应注意：　　1.数列是一种特殊的

2、函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等.　　2.运用方程的思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量、（或），掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算.　　3.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意和两种情况等等.　　4.等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外.如与的转化；将一些数列转化成等差（比）数列来解决等.复习时，要及时总结归纳.　　5.深刻理解等差（比）数列的定义，能正确

3、使用定义和等差（比）数列的性质是学好本章的关键.　　6.解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果.　　7．数列应用题将是命题的热点，这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用.【考点透视】　　1．理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项.　　2．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解答简单的问题.　　3．理解等比

4、数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题.　　4．数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位.高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏.解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题大多有较好的区分度.有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题

5、中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法.应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决.【例题解析】考点一：正确理解和运用数列的概念与通项公式　　理解数列的概念,正确应用数列的定义，能够根据数列的前几项写出数列的通项公式.　　1．（2006年广东卷）在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只

6、有1层，就一个球；第2，3，4，…堆最底层（第一层）分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以表示第n堆的乒乓球总数，则____________；____________（答案用n表示）.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……　　思路启迪：从图中观察各堆最低层的兵乓球数分别是1，3,6,10,…，推测出第n层的球数。　　解答过程：显然.　　第n堆最低层（第一层）的乒乓球数，，第n堆的乒乓球数总数相当于前n堆乒乓球的低层数之和，即　　所以

7、：　　2．（2007年湖南卷理）将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第次全行的数都为1的是第____________行；第61行中1的个数是____________．　　第1行　　　　11　　第2行　　　　101　　第3行　　　1111　　第4行　　　10001　　第5行　　110011　　………………………………………　　思路启迪：计算图形中相应1的数量的特征，然后寻找它们之间的规律。　　解

8、：第1次全行的数都为1的是第=1行，　　　　第2次全行的数都为1的是第=3行，　　　　第3次全行的数都为1的是第=7行，　　　　······，　　　　第次全行的数都为1的是第行；　　　　第61行中1的个数是25=32．考点二：数列的递推关系式的理解与应用　　在解答给出的递推关系式的数列问题时，要对其关系式进行适当的变形，转化为常见的类型进行解题。　　如叠加法：若且；我们可把各个关系式列出来进行叠加求和，可得到数列的通项.　　，，，…，　　∴