高中论文：浅谈数形结合的解题应用

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1、浅谈数形结合的解题应用　内容摘要：数形结合是一种重要的数学思想，它用数的精确性来阐明图形所具有的某种属性，同时，用图形的直观性来表现数与数之间的内在联系，数与形在一定条件下是可以相互转化的，它们是一个不可分割的整体。纵观近年来的高考题发现，融数与形的试题屡见不鲜，也体现了数形结合在数学学习中的重要地位。而大量事实反映，恰当地应用数形结合思想解决数学问题，可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化，进而优化解题途径，达到事半功倍的效果。在中学数学中，数形结合在集合、函数最值、方程与不等式、线性规划、解析

2、几何、立体几何等问题中，都有非常重要的作用。而运用数形结合的方法，帮助学生类比、发掘、剖析数学问题中所具有的几何模型，对于帮助学生深化思维，扩展知识，提高解题效率都有很大的帮助。关键词：数；形；数形结合曾经的高中数学教材分为代数、立体几何、解析几何三个部分，而现行的高中教材仅有一本——数学，这更有利于数与形的结合。我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直觉，形少数时难人微。数形结合百般好，隔裂分家万事非。”数形结合的目的就在于以形助数，那到底“形”是怎样助“数”的呢，数形结合的魅力又到底在哪里

3、呢？下面根据自己这几年来的教学经验，结合实例谈谈自己对巧用10数形结合思想解题的一些认识。一．数形结合思想在集合问题中的应用。例1：设集合M＝{(x,y)

4、x2＋y2＝1,x∈R,y∈R}，N＝{(x,y)

5、x2－y＝0,x∈R,y∈R}，则集合M∩N中元素的个数为（　）A．1　　　　　　　B．2　　　　　　　C．3　　　　　　D．4分析：若此题直接联立方程组将得到，虽然可解出　的值，进而再解出值，但这将花掉较多时间。实际上，若我们仔细观察将不难发现，此两个集合的元素个数就是方程x2＋y2＝1所

6、表示的圆与x2－y＝0所表示的抛物线的交点个数，很明显，由图可知，应该有２个交点，故两集合就有２个元素。例２：已知全集，Ｍ、Ｎ是是Ｕ的两个子集，且满足，，，求Ｍ、Ｎ。U３５ＭＮ７191113217分析：此题是集合问题中一道典型的数形结合问题，它无法通过运算求解，只能借助于形的帮助，方能轻松解决。根据题目条件可将各元素作在韦恩图的相应集合内（如右图），由图可知道。二．数形结合思想在函数最值及值域问题中的应用。例1：函数的最小值为10分析：此题考察学生对知识的灵活应用，若问题得不到恰当转化，那么求解

7、此题就没有可能，此问题怎样转化才行呢：如此，原函数的最小值就转化成了点到点与点的距离和的最小值求解问题，由图可知道，由于点始终在轴上滑动，所以，最小值就是点与点的距离例2：已知，则的取值范围为分析：此问题可利用二元一次方程将二元问题转化为一元问题后，利用常数分离法将化为后利用单调性进行求解，但做起来却较麻烦。若能正确认识此分式所表达的几何意义，问题将得到非常简便的解答：因为，所以，表示的几何意义就是点与点的斜率，从而，问题就转化成了线段上的点与点连线斜率的取值范围，如图可知：,，所以的取值范围是

8、例3：（1）求函数的值域，（2）求函数的值域10分析：问题（1）显然可用判别式法比较轻松地求解，而问题（2）便不能使用判别式法，虽然问题（2）可转化为方程在上有解，借助实根分布的相关知识求解，但却仍然显得较为麻烦。问题（2）利用换元法，令可得，又由的图像（如图）可知的取值范围是，进而可知道值域为三．数形结合思想在方程与不等式问题中的应用。1例1：方程的实数根的个数是_______个分析：此方程为一个超越方程，显然是无法求解的，那么解此问题的关键就是把方程的根的个数问题转化为两个函数图像的交点个数

9、问题。可令，，在同一个直角坐标系中画出两个函数的图像（如图），由图可以找到两个函数图像的交点一共有3个，进而方程的实根个数是3个例2：若3<<2，则x的取值范围是（　　　）A、（，）B、（，）C、（，0）È（，+¥）D、（¥，）È（，+¥）102分析1：本题可把元不等式等价转化为，通过求两个分式不等式构成的不等式组达到求解本题的目的，但此做法较慢。分析2：用函数y=的图象求解，则比较简单。如右图不难得出3＜＜2的解是＜或＞，故选D例3：设，关于的一元二次方程有两实根，且，求的取值范围分析：此题告

10、诉我们方程有两个根，所以可考虑解出两根，再把两根带入求解不等式即可。显然这样的思路想来简单，但求解却是非常困难的事情，所以我们不得不考虑其他办法。若我们令:那么问题就可以转化为二次函数与轴应有12两个交点，而交点的位置一个在内、一个在内，由图可列出图像应满足的条件并求解：四．数形结合思想在线性规划问题中的应用。例1：某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（）A5种　B．6种　C．7种