浅谈数形结合思想在解题中的应用

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1、浅谈数形结合思想在解题中的应用摘要：数形结合思想是初中数学中很重要的一种思想方法，它主要是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题，它包含以形助数和以数解形两个方面.利用它可使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它兼有数的严谨与形的直观之长，是优化解题过程的重要途径之一，是一种基本的数学方法。关键词：数形结合思想以形助数以数解形“数形结合”是初中数学中的一种重要的思想方法，“数”和“形”是数学中两个最基本的概念。数是数量关系的体现，形是空间形式的体现，两者是对立统一的，我们在探讨数量关系时常常借助于图形直观地去研究；而在研究图形时，乂常借助于图形间隐含的数量关系去求

2、解。即将数与形灵活地转换，运用彼此间的相互联系和作用，去有效地探求问题的解答，我认为这就是数形结合的思想方法。我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家力•事非”，“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。我认为，数形结合主要指的是数与形Z间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的儿何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复朵问题简单化，抽彖问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。I大I此在数学教学中，注意渗透这方面的思想，引导学生要善于将两者

3、巧妙地结合起来分析问题，让学生在不断感悟中开阔和发展思维，为达到快速、有效地解决问题奠定良好的基础。一、解决实数问题数轴的引入是实数内容体现数形结合思想的有力证明，因为数轴上的点与实数是一一对应关系。因此两个实数大小的比较，可以通过它们在数轴上对应的点的位置进行判断，相反数与绝对值则可通过相应的数轴上的点与原点的位置关系来刻划。例1：在数轴上的位置如图,化简：Ia-b

4、-1b-c

5、+21a+c

6、o解：Vb<0,c<0,b>c,a>b,

7、c

8、>

9、a・：a~b>0,b~c>0,a+c<0o

10、a~b

11、-1b-c

12、+2

13、a+c

14、=(a~b)-(b-c)-2(a+c)=-

15、a-2b~Co利用数轴的直观性，结合实数绝对值的几何意义,结果易得，体现数形结合在解题中的直观与简明。E—丽飞此外不等式的解集也很好地反映了数形结合思想。如求不等式兀+12»8的非正整数解。利用数轴将不等式的解集兀》-4在数轴上直观地表示出来，使学生形象地看到X、"4的数有无限多个，但满足条件的非正整数只有-4、-3、-2、-1、0五个，说明数形结合更能深刻地反映不等式解集的儿何意义。14116•••18121例2：求和：S二丄+丄+丄+丄+•・・・••+丄24816256引导学生观察所求式了，发现后一项均为丽一项的丄，而丄又止好22是1的一半，由此想到构造一个

16、面积为1的正方形，再将其不断地等1255分……如图所示，从而得到S=l-—=—256256二、解决应用题问题例3、甲、乙两地相距23千米，A从甲地到乙地，在乙地停留20分钟后，又从乙地冋到甲地；B从乙地到甲地，在甲地停留30分钟后，乂从甲地返冋到乙地，若A、B同时从甲、乙两地出发，经过5小时后，在他们各自返回的路上相遇，如果A的速度比B的速度快3千米/小时，求两人的速度。分析：这是一道已知条件十分复杂的应用题，将数与形结合，借助图形來分析，就一直观、清楚多了。A、B所走的路程可用下图表示：从图中可清楚地看到，A、B两人从出发到最后和遇止好共走完了甲、乙两地间距离

17、的3倍，即等量关系为：A走的路程+B走的路程二23X3。如果设B每小时走兀千米，则A每小吋走x+3千米，ft］于两人途中都停留了一段时间,A实际走(5—)小时，B实际走(5—)小32时，由此就不难列!1!方程:(x+3)(5—)+x(5—)—23x3,32得llx=6(千米/小时),x+3=9(千米/小时)由此可见，数与形的有机结合，确实能为解题带來方便，它能使抽象的问题形象化、直观化，复杂的问题简单化，两者之间的互助与联通能开辟出解题捷径，是一种有效的解题策略。三、解决不等式问题例4已知：OVaVl,OVbVl.求证：+b~+J(]-+/?_+J/+(]_b

18、y+J(]-+(]-/?)_n2V2此题通过化简不等式左边也可得证，但比较繁杂，可引导学牛试用简便些的方法去求解，观察所给代数式的结构，含有明显的几何意义，若能结合不等式左边式子的特点,将数的形式与形的特征联系起来构想，你会发现其形式与勾股定理相吻合，从而想到构造直角三角形，利用“形”的特点来帮助解决“数”的问题。分析：求证的不等式左边的每一项都可以视为一个直角三角形的斜边，所证的四个二次根式Z和大于等于2血，可以看作分成两组线段Z和不小于血即可，而血可以由边长为1的止方形的对角线作出來。证明：如图，作边长为1的正方形ABCD,在AB上取点E,使AE二°；在AD

19、上取点G,使AG二b,过