浅谈数形结合思想在数学解题中的几点应用

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1、浅谈数形结合思想在数学解题中的几点应用数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽彖思维为形彖思维，有助于把握数学问题的本质。另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷.所谓数形结合，就是根据数与形Z间的对应关系，通过数与形的相互转化來解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数打图像的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起來的概念，如复数、三角两数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的儿何

2、意义。数与形是一对矛盾，它包含“以形助数”和“以数助形”两个方而，数形结合思想的应用形式大体可分为代数问题的儿何解法与儿何问题的代数解法两个方面。木文试从函数图像和儿何图形两个方面，举例说明“以形助数”在解决问题中的一些妙用.一、利用数形结合思想解决集合的问题.1、利用韦恩图法解决集合之间的关系问题.-•般用圆来表示集合，两圆相交则表示两集合有公共元素，两圆相离则表示两个集合没有公共元索.若利用韦恩图法则能直观地解答冇关集合Z间的关系的问题.例如：例1、有48名学生，每人至少参加一个活动小组，参加数、理、化小组的人数分别为28,25,15,

3、同时参加数、理小组的8人，同时参加数、化小组的6人，同时参加理、化小组的7人，问：同时参加数、理、化小组的有多少人？分析：我们可用圆A、B、C分别表示参加数理化小组的人数(如图1),贝9三圆的公共部分正好表示同时参加数理化小组的人数.用n表示集合的元素，则有：n(A)+n(B)+n(C)-n(A门B)-n(AAC)-n{BPlC)+n(AABAC)=48即：28+25+15-8-6-7+/t(AnBnC)=48・・・n(A"B"C)=1,即同时参加数理化小组的有「人.2、利用数轴解决集合的冇关运算和集合的关系问题.如：当几个集合的解集是不等

4、式形式，要求它们的交集或并集时，经常借助于数轴，把不等式的解集在数轴表示出來，通过数轴观察它们的交集或并集，这样比较直观，例如：例2、已知集合A={x-l3a>-要使BcA,当a>0时集合A应该覆盖集合B,应有成立(3。53,即OvgMI。G>0当a<0时,B=0,显然BeA成立.故BeA时的取值范围为：a

5、<(图2②)①q3交点在(-l,l)z间,必须满足条件：,/(-1)>050即2/(1)>0a-4=0的两实根之间，试求«L-。与£应满足的关系式.分析：我们可联想对应的二次两数y,=x(d+l)?>0+2ax+k/y2=x2+2ax-^a-4的草图(图4).这两个函数图像都是开口向上，形状相同门有公共对称轴的抛物线(如图).要使方程x2+2ax+k=0的两实根在方程/+2or+a—4=0的两实根之间，则对应的两数图像必与兀轴的交点应在两数图像儿与x轴的交点之内，它等价于抛物线必的顶点纵坐标不大于零H•大于抛物线为的顶点纵处标.由配方方法

6、可知y与力的顶点分别为：P](―a,—/+«),&(—+a—4)故一/+a—4v—cr+k50.故可求出a与R应满足的关系式为:a-4

7、解的个数的情况.分析：我们可把这个问题转化为确定函数y]=x2-^y2=k+l图像(图6)交点个数的情况，因两数y2=k+l表示平行于x轴的所有直线，从图像口J以直观看出：①当k<-时，x与力没有交点，这吋原方程无解;②当k=-[时，x与力有两个交点，原方程有两个不同的解;③当-1vRv0时，必与力有四个不同交点，原方程不同解的个数有四个;④当k=0时，X与力有三个交点，原方程不同解的个数有三个;⑤当k>0时X与y2有两个交点，原方程不同解的个数冇三个.3、利用二次函数的图像求一元二次不等式的解集.求一元二次不等式的解集时，只要联想对应

8、的二次函数的图像，确定抛物线的开口方向和与％轴的交点情况，便可肓观地看出所求不等式地解集.例如：例7、解不等式Jx+2>xx>0分析：本题若用常规解法，要分两种情形：（/）<乂+