高考数学（理）二轮复习提优导学案（江苏专用）第一部分　二轮课时专题专题六　数列与数学归纳法第2讲　数列的通项与求和

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1、第2讲　数列的通项与求和【课前热身】第2讲　数列的通项与求和(本讲对应学生用书第59~61页)1.(必修5P44习题6改编)已知数列{an}为等差数列，前n项和为Sn，若S4=8，S8=20，则S12=　　　　.【答案】36【解析】根据等差数列的性质得S4，S8-S4，S12-S8也成等差数列，即2(S8-S4)=S4+(S12-S8)，又S4=8，S8=20，代入得2×(20-8)=8+(S12-20)，解得S12=36.2.(必修5P61第4题改编)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4=1，S3=7

2、，则S5=　　　　.【答案】【解析】设公比为q，显然公比q≠1，由题意，得解得所以S5===.3.(必修5P68复习题12改编)已知数列{an}的通项公式为an=，则其前n项和Sn=　　　　.【答案】-1【解析】因为an==-，所以Sn=-1+-+…+-+-=-1.4.(必修5P69第10题改编)已知数列{an}的前n项和Sn=2n2+4n+1，则{an}的通项公式为　　　　.【答案】an=【解析】当n=1时，a1=S1=7；当n≥2时，Sn-1=2(n-1)2+4(n-1)+1=2n2-1，所以an=Sn-Sn-1=4n+2，当

3、n=1时，a1=7不满足上式，所以{an}的通项公式为an=5.(必修5P62第13题改编)设数列{an}满足an=n·22n-1，则其前n项和Sn=　　　　.【答案】[(3n-1)22n+1+2]【解析】Sn=1×2+2×23+3×25+…+n×22n-1.　①从而22×Sn=1×23+2×25+3×27+…+n×22n+1.　②①-②，得(1-22)Sn=2+23+25+…+22n-1-n×22n+1，即Sn=[(3n-1)22n+1+2].【课堂导学】由an与Sn的关系式求通项例1　(2015·无锡期末改编)在数列{an}，

4、{bn}中，已知a1=0，a2=1，b1=1，b2=，数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项和为Tn，且满足Sn+Sn+1=n2，2Tn+2=3Tn+1-Tn，其中n为正整数.求数列{an}，{bn}的通项公式.【分析】由Sn+Sn+1=n2递推得n≥2时，Sn-1+Sn=(n-1)2，两式相减得an+an+1=2n-1，再次递推得an-1+an=2n-3，作差得an+1-an-1=2，最后分奇偶讨论.由2Tn+2=3Tn+1-Tn直接转化成2bn+2=bn+1，得{bn}为等比数列.【解答】因为Sn+Sn+1=n2，

5、所以当n≥2时，Sn-1+Sn=(n-1)2，两式相减得an+an+1=2n-1.又a2+a1=1也适合上式，所以an+an+1=2n-1对一切n∈N*都成立，所以当n≥2时，an-1+an=2n-3，上面两式相减得an+1-an-1=2，所以数列{an}的奇数项是公差为2的等差数列，偶数项也是公差为2的等差数列.又a1=0，a2=1，所以可解得an=n-1.因为2Tn+2=3Tn+1-Tn，所以2Tn+2-2Tn+1=Tn+1-Tn，即2bn+2=bn+1.又2b2=b1，所以对一切n∈N*均有2bn+1=bn，所以数列{bn}

6、是公比为的等比数列，所以bn=.【点评】(1)给定an与Sn的关系式求通项，通常采用递推作差的方法.(2)要注意首项或者前几项的验证.变式　(2015·南开中学)设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=1，an+1=Sn+3n，n∈N*.(1)若bn=Sn-3n，求数列{bn}的通项公式；(2)求数列{an}的通项公式.【解答】(1)依题意得Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n，即Sn+1=2Sn+3n，由此得Sn+1-3n+1=2(Sn-3n)，因此bn+1=2bn，所以{bn}为等比数列，首项是b1=a1-3=-2，公比q=

7、2，所求通项公式为bn=-2·2n-1=-2n，n∈N*.(2)由{bn}的通项可知Sn=3n-2n，n∈N*，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3n-2n-3n-1+2n-1=2×3n-1-2n-1，当n=1时，a1=1=2×31-1-21-1也满足上式，所以an=2×3n-1-2n-1，n∈N*.构造新数列成等差或等比数列例2　(2015·广东卷)设数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*.已知a1=1，a2=，a3=，且当n≥2时，4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1.(1)求a4的值；(2)求证：为等比数列；(3)求数列

8、{an}的通项公式.【解答】(1)当n=2时，4S4+5S2=8S3+S1，即4+5=8+1，解得a4=.(2)因为4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1(n≥2)，所以4Sn+2-4Sn+1+Sn-Sn-1=4Sn+1-4Sn(n≥2)，即4a