2014届高三必过关题9 立体几何(李其龙)

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1、高三必过关题9立体几何江苏省黄埭中学李其龙一，填空题例1．将一个边长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了________．[解析]每个小正方体的表面积是a2×6＝a2，故表面积增加了a2×27－6a2＝12a2.例2．若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为l的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是________．[解析]设圆锥的底面半径为r，则l＝2πr，∴l＝3r，∴＝＝＝.例3．已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上．若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12.则球O的半径为.[解析]由题意将直三棱柱ABC－A1B1C1还

2、原为长方体ABDC－A1B1D1C1，则球的直径即为长方体ABDC－A1B1D1C1的体对角线AD1，所以球的直径AD1＝＝＝13，则球的半径为.例4．已知正的边长为,则到三个顶点的距离都为1的平面有_____个.[答案]8个例5．与空间不共面的四个点距离相等的平面有个.[解析]有两类:一类是三个点确定一个平面,另一个点在平面的一侧,过该点作平面的垂线段,过垂线段中点作与已知平面平行的平面,即符合条件,这样的平面可作4个;另一类是两个点在平面一侧,其他两点在平面另一侧,可作3个平面,共7个.例6．对于空间中的三条直线，有以下四个条件：①三条直线两两相交；②三条直线两两平行

3、；③三条直线共点；④两直线相交，第三条平行于其中一条与另个一条相交，其中使这三条直线共面的充分条件有个.[答案]1个例7．设为平面，为直线，以下四组条件：①②；③；④第8页；可以作为的一个充分条件是．[解析]题中线面关系既复杂又抽象，注意到其中包含大量的垂直关系，故可以在正方体内ABCDD1A1B1C1观察：①记面AD1为，面AC为，则AD为，若视AB为，⊥，但在面内；②若两两垂直，则可以得到，但该条件中没有⊥，故反例只可能存在于此处，记面AD1为，面BB1D1D为，面AC为，则AD为，但与成450角；③注意到⊥，只要、不平行，就得不到，记面AD1为，面BB1D1D为，面AC

4、为，视AB为，但与成450角；④由⊥，⊥得∥，再由⊥得；故只有④．例8．如图，ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使面ABD⊥面BCD，连结AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面有对.[解析]本题考查图形的翻折，和面面垂直的判定，显然面ABD⊥面BCD，面ABC⊥面BCD，面ABD⊥面ACD，所以答案3对例9．正方体，分别是，的中点，P是上的动点（包括端点）过E、D、P作正方体的截面，若截面为四边形，则P的轨迹是．[解析]本题考查几何体中的线面关系，∥平面∴平面DEC与平面的交线CM∥ED连结EM，易证MC=ED∴，则M到达时，仍可构成四边形，即P到F，

5、P在之间则满足要求P到仍可构成四边形，故P的轨迹为线段CF和点.例10．设是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若，且”为真命题的是（填所有正确条件的代号）.①x为直线，y，z为平面②x，y，z为平面③x，y为直线，z为平面④x，y为平面，z为直线⑤x，y，z为直线第8页[答案]①③④例11．已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为．[解析]设侧棱长为a，△ABC的中心为Q，联结PQ，由于侧棱与底面垂直，∴PQ⊥平面ABC，即∠PAQ为PA与平面AB

6、C所成的角．又∵VABC－A1B1C1＝××a＝，解得a＝，∴tan∠PAQ＝＝＝，故∠PAQ＝.例12．如图1所示，正四面体A－BCD中，AO⊥平面BCD，垂足为O，设M是线段AO上一点，且∠BMC是直角，则＝________．图1图2[解析]如图2，联结OB，设正四面体的棱长为1，则OB＝，MB＝，故OM＝＝OA＝AM，则＝1.例13．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为π，半径为18cm的扇形，则圆锥母线与底面所成角的余弦值为________．[答案]例14．如图，在四面体P－ABC中，PA＝PB＝PC＝2，∠APB＝∠BPC＝∠APC＝30°，一只蚂蚁从A点出发沿着四面体的

7、表面绕一周，再回到A点，问：蚂蚁沿着怎样的路径爬行时路程最短，最短路径是________．[解析]如右图，将四面体沿PA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，连接AA′分别交PB，PC于E，F两点，则当蚂蚁沿着A刘E刘F刘A′路径爬行时，路程最短．在△APA′中，∠APA′＝90°，PA＝PA′＝2，∴AA′＝2，即最短路程AA′的长为2.第8页例15．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1、EF、CD都相交的直线有________条．[解