一次函数的分段函数

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一次函数的分段函数按照《新课程标准》的要求，分段函数在教材中尽管未给出严格的概念，但这种题型已有初步渗透，湘教版八年级数学教材P46页A组第8题和B组第6题，及60页C组2题与3就是例子。于是各种教学参考与辅导资料便有炒作的势头，其题型五花八门，各具姿态，可谓百花齐放了。然而编者们还是心怕读者（学生）的认识水平与接受能力有限，所以在目前教材和资料中尚没对其做出具体的分析和说明，这样反而使学生在函数学习中弄得云里雾里，对函数概念的理解变得模糊起来，我们来讨论一次函数中的分段函数问题，以供同学们参考。一、一次函数的分段函数定义例1：（湘教版八年级第46页习题中的A组第8题）某旅游景点的门票一张110元，如果一次买10张以上，则可以打8折，用X表示旅游团的人数，用y表示购买门票的费。（1）用公式（函数解析式）法表示购买门票的费用y元与人数x之间的函数关系。（2）画出这个函数的图像。（3）求出旅游团人数为9人、30人时门票费为多少？分析：，本题必须从自变量X的两个取值范围来考虑函数变化情况，这两段中，一是0≤X≤9中的整数段，一是X≥10的整数段。解：y（1）由题意可得Y关于X的函数解析式为：Y=D（20，1760）20001500（2）对于0≤X≤9X是整数段，其函数表达式为110XB（9，990）1000取X=0时Y=0得点A（0，0）C（10，880）500当X=9时Y=990得点B（9，990）1020在线段AB之间均匀地取10个点X。9A（0，0）便得函数在0≤X≤9X是整数段的图像。如图1对于X≥10的整数段，其函数表达式为80%×110X，取X=10时Y=880得点C（10，880），当X=20时Y=1760得点D（20，1760）在线段CD之间均匀地取10个点，且在线段CD的延长线上均匀地取点，便得函数在0≤X≤9X是整数段的图像。如图一（3）当X=9时，Y=110×9=990当X=30时Y=80%×110×30=2640对于一次函数的初学者而言，要理解这一问题确是一个难点，因为他们只认为一次函数是一条直线，直线只能向他相反的两个方向无限延长。然而，在这一实际问题中，首先，一次函数（0≤X≤9X是整数）段上的图像不是线段而是线段上的一些点，且不可以延长，其次，当X＝10时直线被折断，变为一条射线，其图像不但端点位置发生了变化，而且射线的倾斜程度也发生了改变，这一条射线上还是一些间隔均匀的点。因此，对于学生来说，从量的改变到形的变化，实在显得十分抽象，难于理解。定义：一般地，如果有实数a1，a2，a3……k1,k,2k3……b1,b2,b3……且a1≤a2≤a3……函数Y与自变量X之间存在 k1x+b1x≤a1y=k2x+b2a1≤x≤a2①的函数解析式，则称该函数解析式为X的分段函数。K3x+b3a2≤x≤a3…………应该指出:(一),函数解析式①这个整体只是一个函数,并非是Y=K1X+b1Y=K2X+b2……等几个不同函数的简单组合,而k1x+b1,k2x+b2……是函数Y的几种不同的表达式.。所以上例中Y=｛这个整体只是一个函数，不能认为它是两个不同的函数，只能说110X和110×80%X是同一函数中的自变量X在两种不同取值范围内的不同表达式。(二),由于k1,k2,k3……b1,b2,b3是实数,所以函数Y在X的某个范围内的特殊函数,如正比例函数和常数函数。(三),由于问题的不同，当然分段函数也可能在自变量某范围内不是一次函数而是其他形式的函数，在这里我们不予讨论。(四),一次函数的分段函数是简单的分段函数。例2：某城市出租车收费标准如下，3千米以内（含3千米）收8元，超过3千米的部分每千米收费1.4元。求出应收车费Y（元）与出租车行驶路程X千米之间的函数关系式。解：X的变化范围可分两个阶段即0≤X≤3和X＞3,且在0≤X≤3内的函数值恒为8，而在X＞3范围内的函数值可由8+1.4（X-3）求出。80≤X≤3于是所求的函数解析数式为:Y=8+1.4(X-3)X＞3二、根据分段函数作图像在作分段函数图像时,一般先求出每一段图像的端点坐标，然后在坐标系中描出点,分段连线即可,对于具有特殊意义的图像,还需根据其意义的具体要求确定图像。例题1中的图像作法就是一个典型的例子。下面我们再看这一方法的步骤。3X-50≤X≤3Y例3：试作y=43＜X≤5的图像14-2XX＞5B（3,4）C（5,4）对于0≤X≤3段，取X=0时Y=-5得到点A（0，-5）D(8,0)358X取X=3时Y=4得到点B（3，4）连结AB对于3＜X≤5段，取X=5时Y=4得到点C（5，4）连结BCA(0,5)对于X＞5段，图二取X=8时Y=0得到点D（8，0）连结并延长CD即得原分段函数图像。要作有些函数的图像,必须先将原函数化简成分段函数后才能完成。我们以下面例题予以说明例4：作Y=|X-3|+|X+1|+|X+3|的图像解：（找0点）X-3=0X+1=0X+3=0 得X=3X=-1X=-3Y(分区域)如是在X轴上可以分四个区域它们分别是(4,13)X≤-3-3≤X≤-1-1≤X≤3X≤3如图三（-3，8）（3，10）（-1，6）6-3-1图三(化简函数)当-3≤X≤-1时Y=3-X-X-1+X+3=-X+5-3-1034X当X≤-3时Y=3-X-1-X-X-3=-3X-1当-1≤X≤3时Y=3-X+X+1+X+3=X+7图四当X≥3时Y=X-3+X+1+X+3=3X+1(作图)-3X-1X≤-3于是用端点法即得分段函数-X+5-3≤X≤-1的图像,如图四X+7-1≤X≤33X+1X≥3三、根据题意判断分段函数的图像例5：(如图五)某产品的生产流水线每小时可以生产100件产品，生产前没有产品积压，生产3小时后，安排1人装箱,若每小时装产品150件，未装箱的产品数量（Y）是生产时间X的函数，那么，这个函数的大致图像只能是（）。YYYBYAAAABBBCOXOXOXOX（A）（B）（C）（D）图五解：根据题意，当0≤X≤3时，函数表达式为100X，当X≥3对函数表达式为100X-150（X-3），化简后得到450-50X，于是可得分段函数为100X0≤X≤3450-50XX≥3显然AO段为正比例函数，且Y随X的增大而增大，OB段为一次函数，且Y随X的增大而减小，所以只有A是题目的答案。