实对称矩阵及其应用

《实对称矩阵及其应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、实对称矩阵及其应用摘要：本文主要归纳了实对称矩阵的性质，并在此基础上研究了实对称矩阵在化简二次曲面方程，判断多元函数极值，微观经济学以及实二次型问题中的应用．关键词：实对称矩阵；正定；特征值；极值引言矩阵在数学的许多分支中经常用到，而实对称矩阵作为特殊的矩阵不仅在几何而且在数学的其他分支及物理，力学，工程技术中有广泛的应用．而且，利用实对称矩阵还可求函数的极值以及微观经济学中最优的组合解问题．因此，研究实对称矩阵具有重要的意义．很多文献对实对称矩阵的性质及应用进行了研究．文献[1]给出了实对称矩阵的定义，讨论了实对称矩阵的特征值、特征向量等性质，得出实对称矩阵的特征值都是实数，属于

2、不同特征值的特征向量都正交；文献[4]阐述了实对称矩阵的一些性质，得出两个实对称矩阵的乘积为实对称矩阵的充要条件是这两个实对称矩阵可交换；文献[9]讨论了判断多元函数极值的问题，得出了若该多元函数的二阶偏导在其稳定点的值构成的矩阵是正定的，则函数在该点取得极小值；若矩阵是负定的，则函数在该点取得极大值；若矩阵是不定的，则函数在该点不取得极值．本文在上述文献的基础上，对实对称矩阵的性质进行了归纳与总结并对部分性质进行了证明．并研究了实对称矩阵在二次曲面方程化简，多元函数极值判别，微观经济学以及实二次型方面的应用，具有一定的应用价值．1．预备知识定义1.1[1]设，记为矩阵的转置．定义

3、1.2[2]若矩阵（其中）满足，则称为实对称矩阵．由定义知实对称矩阵一定是方阵，并且它的元素均为实数且满足，因而实对称矩阵的形式为10．定义1.3[2]若矩阵（其中）满足，则称为实反对称矩阵．由定义知实反对称矩阵一定是方阵，并且它的元素均为实数且满足，当时，对角线上的元素全是零，因而实反对称矩阵的形式为．定义1.4[1]设为实二次型，为实对称矩阵，则⑴对任意元向量，恒有，则称为正定二次型；⑵对任意元向量，恒有，则称为半正定二次型；⑶对任意元向量，恒有，则称为负定二次型；⑷对任意元向量，恒有，则称为半负定二次型；⑸对任意元向量，若符号不定，则称为不定二次型．定义1.5[1]设是阶矩阵

4、，从中任取行和列，由其交点元素按原来次序排列而成的阶行列式，称为的一个阶主子式，记为；从中取前行，前列，由其交点元素按原来次序排列而成的阶行列式，称为的阶顺序主子式，记为．定义1.6[1]设是阶矩阵，对于任意的元向量，若有，则称是的特征值，是属于特征值的特征向量．定义1.7[1]阶实数矩阵称为正交矩阵，如果．10定义1.8[3]设元函数在某区域上具有二阶连续偏导数，并记，区域内一点使，，则称是函数的稳定点．2．实对称矩阵的性质性质2.1同阶实对称矩阵的和，差，数乘都是实对称矩阵．性质2.2对任意阶实方阵必能分解成一个实对称矩阵和一个实反对称矩阵之和．证明设是任意阶实方阵，则，，由性

5、质2．1知与分别为实对称矩阵和实反对称矩阵而，因此，可分解成一个实对称矩阵和一个实反对称矩阵之和．由此命题的证明过程可得以下推论推论2.1任意阶实方阵与其转置之和为实对称矩阵，之差为实反对称矩阵．性质2.3[4]若，为阶实对称矩阵，则为实对称矩阵当且仅当，可交换．证明若，均为阶实对称矩阵，则，，必要性若为实对称矩阵，则10，又，所以，因此，，可以交换．充分性若，则，因此，为实对称矩阵．性质2.4[1]实对称矩阵的所有特征值均为实数．证明设是实对称矩阵的任一个特征值，X是它对应的特征向量，则，且．又，，，所以，设，由于，故>0，其中是复数的模．因而，所以，因此，是实数．10由的任意性

6、知实对称矩阵的特征值都是实数．性质2.5[1]若为阶实对称矩阵，则中属于的不同特征值的特征向量必正交．证明设，是实对称矩阵的不同特征值，，分别是的对应于，的特征向量．因此，，且，．由性质2.4知若在的两边同时取转置则得．在的两边同时乘以得，因此，又，所以，故与正交．性质2.6对任意一个阶实对称矩阵，都存在一个阶正交矩阵，使成为对角形且对角线上的元素为的特征值．证明设的互不相等的特征值为，它们的重数依次为．则对应特征值，恰有个线性无关的实特征向量，把它们正交化并单位化，即得个单位正交的特征向量，由知，这样的特征向量共可得个．以它们为列向量作成正交矩阵，则，其对角矩阵中的对角元素含个，

7、…，个，恰是的个特征值．10性质2.7[7]设为实对称矩阵，则的个特征值为的特征方程的解，记为(重根按重数计算)，那么．性质2.8设是实对称矩阵，是的特征值，则(1)是正定矩阵当且仅当；(2)是半正定矩阵当且仅当；(3)是负定矩阵当且仅当；(4)是半负定矩阵当且仅当；(5)是不定矩阵当且仅当符号不定，．性质2.9设是实对称矩阵，则有(1)是正定矩阵当且仅当；(2)是半正定矩阵当且仅当；(3)是负定矩阵当且仅当；(4)是正定矩阵当且仅当．性质2.10[9]设元函数在点的