【高考必备】【新步步高】高考数学（理 全国甲卷）大二轮总复习与增分策略配套配套文档 专题九　数学思想方法[原创精品]

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1、高考数学以能力立意，一是考查数学的基础知识，基本技能；二是考查基本数学思想方法，考查数学思维的深度、广度和宽度，数学思想方法是指从数学的角度来认识、处理和解决问题，是数学意识，是数学技能的升华和提高，中学数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、转化与化归思想．一、函数与方程思想函数思想方程思想函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，根据题中的等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)或对方程

2、(组)进行研究，以求得问题的解决函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的．函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求解，研究运动中的等量关系　　　　　　　　　　　　　　　　　　　例1　(1)已知正四棱锥S—ABCD中，SA＝2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为(　　)A．1B.C．2D．3(2)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，若F关于直线x＋y＝0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为(　　)A.B.C.D.－1答案　(1)C　(2)D解析　(1)设正四棱锥S—ABCD的底面边长为a(a>0)，则高h＝＝，所以体积V＝a2h

3、＝.设y＝12a4－a6(a>0)，则y′＝48a3－3a5.令y′>0，得04.故函数y在(0,4)上单调递增，在(4，＋∞)上单调递减．可知当a＝4时，y取得最大值，即体积V取得最大值，此时h＝＝2，故选C.(2)设F(－c,0)，A(m，n)，则　解得A(，c)，代入椭圆方程中，有＋＝1，所以b2c2＋3a2c2＝4a2b2，所以(a2－c2)c2＋3a2c2＝4a2(a2－c2)，所以c4－8a2c2＋4a4＝0，所以e4－8e2＋4＝0，所以e2＝4±2，所以e＝－1或e＝＋1(舍去)．即椭圆C的离心率为－1.思维升华　函数与方程思想在解

4、题中的应用(1)函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数有关理论．(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决．跟踪演练1　(1)若函数f(x)在R上可导，且满足f(x)f(2)C．

5、2f(1)＝f(2)D．f(1)＝f(2)(2)如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，－π<φ<π)在一个周期内的图象，则此函数的解析式是(　　)A．y＝2sin(2x＋)B．y＝2sin(2x＋)C．y＝2sin(－)D．y＝2sin(2x－)答案　(1)A　(2)B解析　(1)由于f(x)0恒成立，因此在R上是单调递增函数，∴>，即f(2)>2f(1)，故选A.(2)依函数图象，知y的最大值为2，所以A＝2.又＝－(－)＝，所以T＝π，又＝π，所以ω＝2，所以y＝2sin(2x＋φ)．将(－，2)代入可得sin(－＋φ)＝1，

6、故φ－＝＋2kπ，k∈Z，又－π<φ<π，所以φ＝.所以函数的解析式为y＝2sin(2x＋)，故选B.二、数形结合思想以形助数(数题形解)以数辅形(形题数解)借助形的生动性和直观性来阐述数之间的关系，把数转化为形，即以形作为手段，数作为目的解决数学问题的数学思想借助于数的精确性和规范性及严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的解决问题的数学思想数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合例2　(1)(2015·湖南)若函数f(x)＝

7、2x－2

8、－b有

9、两个零点，则实数b的取值范围是________．(2)已知⊥，

10、

11、＝，

12、

13、＝t，若P点是△ABC所在平面内一点，且＝＋.则满足⊥的实数t的值为________．答案　(1)(0,2)　(2)解析　(1)由f(x)＝

14、2x－2

15、－b＝0，得

16、2x－2

17、＝b.在同一平面直角坐标系中画出y＝

18、2x－2

19、与y＝b的图象，如图所示．则当0

20、2x－2

21、－b有两个零点．(2)以A点为坐标原点，，的方向分别为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则有A(0,0)，B(