（全国通用）2018年高考数学 考点一遍过 专题10 函数模型及其应用（含解析）理

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1、考点10函数模型及其应用（1）了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.（2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.一、常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型(为常数，)反比例函数模型(为常数且)二次函数模型（均为常数，）指数函数模型（均为常数，，，）对数函数模型（为常数，）幂函数模型（为常数，）二、几类函数模型的增长差异函数性质　　在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增

2、长速度先慢后快，指数爆炸先快后慢，增长平缓介于指数函数与对数函数之间,相对平稳18图象的变化随x的增大，图象与轴接近平行随x的增大，图象与轴接近平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个，当时，有三、函数模型的应用解函数应用题的一般步骤，可分以下四步进行：（1）认真审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；（2）建立模型：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；（3）求解模型：求解数学模型，得出数学结论；（4）还原解答：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中.用

3、框图表示如下：数学问题实际问题建模审题、转化、抽象问题解决解模运算实际问题结论数学问题答案还原结合实际意义考向一二次函数模型的应用在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位.根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题.典例1食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投

4、入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入、种黄瓜的年收入与投入（单位：万元）满足，设甲大棚的投入为（单位：万元），每年两个大棚的总收益为（单位：万元）.18（1）求的值；（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益最大？.所以甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元.【名师点睛】在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时，一定要注意自变量的取值范围.1．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可

5、全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？考向二指数函数、对数函数模型的应用（1）在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示.通常可以表示为(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式.求解时可利用指数运算与对数运算的关系.（2）已知对数函数模型解

6、题是常见题型，准确进行对数运算及指数与对数的互化即可.18典例2一片森林原来面积为a,计划每年砍伐一些树,且使森林面积每年比上一年减少p%,10年后森林面积变为.为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的,已知到今年为止,森林面积为.（1）求p%的值;（2）到今年为止,该森林已砍伐了多少年?（3）今后最多还能砍伐多少年?故今后最多还能砍伐15年.典例3我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系.声音的强度用瓦/米2()表示，但在实际测量时，常用声音的强度水平表示，它们满足以下公式：(单位为分贝，，

7、其中，这是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端).回答以下问题：18（1）树叶沙沙声的强度是，耳语的强度是，恬静的无线电广播的强度是，试分别求出它们的强度水平；（2）某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，试求声音强度的范围为多少？所以，即恬静的无线电广播的强度水平为40分贝.（2）由题意知：，即，所以，即.所以新建的安静小区的声音强度I大于或等于，同时应小于.182．在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v(单位:米/秒)和燃料的质量M(单位:千克)、火箭(除燃料

8、外)的质量m(单位:千克)的函数关系式是v=2000·ln(1+).当燃料质量是火箭质量的　　　　倍时,火箭的最大速度可达12千米/秒. 考向三分段函数模型的应用（1）在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数．如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数．（2）分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其作为几个不同问题，将各段的规律找出来