数学人教a版必修5二章2.4等比数列(第2课时)

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1、第2课时　等比数列的性质1．复习巩固等比数列的概念及其通项公式．2．掌握等比中项的应用．3．掌握等比数列的性质，并能解决有关问题．1．等比数列的定义及通项公式【做一做1】等比数列{an}的公比q＝3，a1＝，则a5等于(　　)A．3B．9C．27D．812．等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成________，那么G叫做a，b的等比中项，这三个数满足关系式________．【做一做2】已知10是a与20的等比中项，则a＝__________.答案：1．同一个常数　公比　q　an＝a1qn－1　an＝an－1q【做一做1】C2．等比数列

2、　G2＝ab【做一做2】51．等比数列的性质剖析：已知等比数列{an}中，首项为a1，公比为q(q≠0)，则an＝a1·qn－1.(1)当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，数列{an}是递增数列；当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，数列{an}是递减数列；当q＝1时，数列{an}是常数列；当q＜0时，数列{an}是摆动数列(它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶数项异号)．(2)an＝am·qn－m(m，n∈N*)．(3)当m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)时，有am·an＝ap·aq.(4)数列{an}是有穷数列

3、，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项之积，即a1·an＝a2·an－1＝a3·an－2＝…＝am·an－m＋1.(5)数列{λan}(λ为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列；若数列{bn}是公比为q′的等比数列，则数列{an·bn}是公比为q·q′的等比数列；数列是公比为的等比数列；数列{

4、an

5、}是公比为

6、q

7、的等比数列．[来源:学&科&网](6)在数列{an}中，每隔k(k∈N*)项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为qk＋1.(7)当数列{an}是各项都为正数的等比数列时，数列{lgan}是公差为lgq的

8、等差数列．(8)在数列{an}中，连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或qk2)的等比数列．(9)若m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列，则am，an，ap成等比数列．利用等比数列的通项公式易证性质(1)(2)(3)(4)，下面证明其他几条性质(5)①∵an＝a1·qn－1，∴λan＝λ·a1·qn－1＝(λa1)·qn－1.又λ≠0，∴数列{λan}是首项为λa1，公比为q的等比数列．②∵bn＝b1·(q′)(n－1)，an＝a1·qn－1，∴an·bn＝a1·qn－1·b1·(q′)(n－1)＝(a1·b1)·(q′·q)n－1.∴数列

9、{an·bn}表示首项为a1·b1，公比为q′·q的等比数列．③由＝＝·n－1，得数列表示首项为，公比为的等比数列．④

10、an

11、＝

12、a1·qn－1

13、＝

14、a1

15、·

16、q

17、n－1，故数列{

18、an

19、}表示首项为

20、a1

21、，公比为

22、q

23、的等比数列．(6)例如，等比数列{an}中，从首项a1开始每隔3项取出一项构成新数列为a4，a8，a12，a16，a20，a24，….∵an＝a1·qn－1，且新数列中＝＝＝＝＝…＝q4，∴当每隔k项取出一项时，变为＝＝＝…＝qk＋1.(7)∵an＞0且an＝a1·qn－1(q≠0)，∴lgan＝lg(a1·qn－1)．∴lgan－

24、lgan－1＝lg(a1·qn－1)－lg(a1·qn－2)＝(lga1＋lgqn－1)－(lga1＋lgqn－2)＝lgqn－1－lgqn－2＝(n－1)lgq－(n－2)lgq＝lgq(常数)．∴数列{lgan}是公差为lgq的等差数列．(8)例如，等比数列{an}中，从首项a1开始，连续取相邻两项的和，构成新数列为a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8，….∵＝＝＝…＝q2，∴连续取相邻k项的和时，变为：＝＝…＝qk.(9)∵m＋p＝2n且m，n，p∈N*，am＝a1·qm－1，an＝a1·qn－1，ap＝a1·qp－1，∴am·ap＝

25、a1·qm－1·a1·qp－1＝a·qm＋p－2＝(a1·)2＝(a1·qn－1)2＝a.∴am，an，ap成等比数列．2．等差数列与等比数列的区别与联系剖析：等差数列与等比数列的区别与联系如下表所示．等差数列等比数列不同点(1)强调每一项与前一项的差；(2)a1和d可以为0；[来源:Zxxk.Com](3)任意两个实数的等差中项唯一；[来源:Z§xx§k.Com](4)当m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)时，am＋an＝ap＋aq.(1)强调每一项与前一项的比；(2)a1与q均不为0；(3)两个同号实数(不为0)的等比中项有两个值；(4)当m＋

26、n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)时，aman＝apaq.相同点(1)都强调每一项与其前一项的关系；(2)结