多元函数分析性质之间的关系

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1、多元函数分析性质之间的关系本文主要介绍了二元函数连续性，偏导性存在及可微性的基础知识，对它们分别进行了总结证明和进一步的讨论，总结出这三个概念之间的关系，并举出例子加以论证支撑。由浅入深，从简单开始，逐步深入，做深入探究多元函数连续性，偏导数及可微性之间的关系。一、二元函数的连续、偏导数及可微三个概念的定义（一）二元函数的连续性定义1设为定义在点集上的二元函数，(它或者是的聚点，或者是的孤立点）。对于任给的正数，总存在相应的正数，只要（;),就有<,则称在上任何点都关于集合连续，在不误解的情况下，也称在点连续。若

2、在上任何点都关于集合连续，则称在点连续。由上述定义知道：若是的孤立点，则必定是关于的连续点；若是聚点，则关于在连续等价于（二）二元函数的可微性定义2设函数在点的某领域内有定义，对于中的点，若函数在点处的全增量表示为,其中,是仅与点有关的常数，，是较高阶的无穷小量，则称函数在点处可微，并称上式中关于，的线性函数为函数在点的全微分，记作由上可知是的线性主部，特别当，充分小时，全微分可作为全增量的近似值，即有时也把写成如下形式，这里（三）二元函数的偏导数由一元函数微分学知道：若其中。同样，若二元函数在点可微，则在处的全

3、增量可由表示。现在讨论其中、的值与函数的关系。为此，在式子中令，这时得到关于的偏增量，且有或者现让，由上式得的一个极限表达式容易看出，上式右边的极限正是关于的一元函数在处的导数。类似地，令，由又得到，它是关于的一元函数在处的导数。综上所述，可知函数在点处对的偏导数，实际上是把固定在，让有增量，如果极限存在，那么次极限称为函数在点处对的偏导数，记作。因此，二元函数当固定其中一个自变量时，它对另一个自变量的导数称为偏导数，可定义如下：定义3设函数.若,且在的某一领域内有定义，则当极限存在时，称这个极限为函数在点关于的

4、偏导数，记作或注意1这里符号，专用于偏导数算符，与一元函数的导数符号相仿，但没有差别。注意2在上述定义中，在点存在关于的偏导数，至少在上必须有定义。若函数在区域上每一点都存在对（或对）的偏导数，则得到函数在区域上对（或对）的偏导函数（也简称偏导数），记作或也可简单的写作或二、二元函数三个概念的结论及证明（一）二元函数连续性的结论总结及证明一元函数若在某点存在左导数和右导数，则这个一元函数必在这点连续，但对于二元函数来说，即使它在某点即存在关于的偏导数，又存在关于的偏导数，也未必在点连续，如下定理有：定理1设函数在

5、点的某邻域内有定义，若作为的一元函数在点连续，在内有界，则在点连续。证明：任取,则（1）由于在存在，故对于取定的，作为的一元函数在以和为端点的闭区间上可导。从而据一元函数微分学中的拉格朗日中值定理，存在，使将它代入（1）式，得（2）由于,故有界，因而当时有又据定理的条件知，在连续，故当时，又有所以，由（2）知，有这说明在点连续。推论1设函数在点的某邻域内有定义，若作为的一元函数在点连续，在点连续，则在点连续。证明由于在点连续，故必在点的某邻域内有界，因而据定理1，在点连续。推论2设函数在点的某邻域内有定义，若在有

6、界，存在，则在点连续。证明：由于存在，故作为的一元函数在点连续，从而据定理1可得，在点连续。同理可证如下的定理2及其推论。定理2设函数在点的某邻域有定义，在内有界，作为的一元函数在点连续，则在点连续。推论1设函数在点的某邻域内有定义，在点内有界，存在，则在点连续。推论2设函数在点的某邻域有定义，在点连续，存在，则在点连续。（二）二元函数可微性的结论总结及证明众所周知，一元函数中，可微性与可导是一回事，但在二元函数中情况就不同了。定理3函数在点科委的充分必要条件是在点的两个偏导数都存在，且对，，当证明必要性已知在点

7、可微，故与存在，且其中即于是，当时，有从而当（即）时，即，当与且时，有所以，，当与且时，有。充分性已知函数在点两个偏导数存在，，，当与且时，有令，则当时，有于是当时，有从而有所以，函数在点可微，证毕。定理4若函数在点点处，连续存在（或存在，连续），则函数在点处可微。由此定理的条件扔有对一个偏导数（二元）连续性的要求。因而用来判断函数的可微性仍有较大的局限性。例如：对于函数，有从而由于和都不存在，因而和在点都不连续，关于在点的可微性，无论是根据教材中所介绍的定理。还是根据上述定理都不能给出肯定的结论。本文给出另一个

8、可微的充分条件，它完全放弃对两个偏导数（二元）连续性的要求，因而对某些函数可微性的判定有独到的作用。为了叙述方便，引入如下概念。定义如果对于函数存在时，使得当时，存在，且当时，变量关于一直趋向于，即对任意的，存在，当时，对任意（）都有成立，我们就称函数在点关于对一致可导。（三）二元函数偏导数的结论总结二元函数在点的两个偏导数有明显的几何意义：设为曲面上的一点，过做平面，截