第5章(二次型)线性代数及其应用

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1、第5章二次型二次型与对称矩阵二次型的标准化惯性定理二次型的规范形正定二次型Mathematica软件应用第5.1节二次型与对称矩阵二次型理论起源于解析几何中化二次曲线或二次曲面方程为标准形问题.这里首先介绍一些基本概念，然后讨论如何利用可逆线性变换把一个二次型化成标准形.基本内容二次型的定义二次型的矩阵表示称为n元二次型，简称二次型.称为二次型的系数.1.二次型定义定义1f(tx,ty)=t2f(x,y)例如f(x,y)=2x2-xy+3y2定义2（二次型的标准形）只含有平方项的二次型，即称为标准形.例如：一般二次型标准型2.二次型的矩阵

2、表示对二元二次型，有二次型的矩阵表示一般地，对n元二次型二次型f与实对称矩阵是一一对应的.称A为二次型f的矩阵；称A的秩为二次型f的秩.二次型f的标准形与对角矩阵是一一对应的.二次型的矩阵表示例1写出二次型的矩阵表示解问题：如何将一个二次型经过可逆（满秩）的线性变换化为标准形？即通过怎样的线性变换将一个带有交叉的二次齐次多项式(一般二次型)化简为只含有平方项的二次齐式(标准形).第5.2节二次型的标准化1.预备知识将二次型化为标准形，需要借助线性变换来实现．首先回顾线性变换的概念．若C可逆，称之为可逆线性变换；若C是正交矩阵，称之为正交

3、线性变换.其次，给出矩阵合同的概念．对n元二次型，我们关心的主要问题是：寻找可逆的线性变换x=cy，使将上式中A和满足的特殊关系一般化，有以下定义:定义（合同矩阵）：设A、B为n阶矩阵，如果有可逆矩阵C，使CTAC=B称A与B合同.合同是矩阵之间的一种关系，具有反身性对称性传递性定理：可逆线性变换后的二次型矩阵与原二次型的矩阵合同．二次型的标准化问题转化为：如何将一个实对称矩阵合同于一个对角矩阵。1.正交变换法由于二次型的矩阵A都是实对称矩阵，根据上一节的结果知,存在正交矩阵Q，使Q–1AQ=QTAQ=Λ为对角阵.将此结论应用于二次型，

4、有如下结论定理任意n元实二次型f=xTAx，都可经正交变换x＝Qy化为标准形用正交变换化二次型为标准形的步骤：①写出二次型f的矩阵A；②求正交矩阵Q，使得为对角阵；③正交变换x=Qy化二次型为标准形f=yTΛy.解(i)二次型f的矩阵为例1求一个正交变换x＝Qy把二次型(ii)求出A的全部特征值及线性无关特征向量化为标准形.得对应的一个线性无关的特征向量当λ1=0,时解方程组(0E-A)x=0.当λ2=λ3=2,时解方程组(2E-A)x=0.得对应的线性无关的特征向量为(iii)将所求特征向量正交化、单位化因1分别与2，3正交,故只

5、需将2，3正交化.正交化单位化则正交变换x＝Qy将二次型化为标准形(iv)写出正交变换令正交变换是线性变换中的特殊一类，它具有保持向量的内积、长度不变等优点，即若x＝Qy为正交变换，则所以正交变换能保持几何图形的大小和形状不变．解(1)二次型f的矩阵为例2已知二次型经正交变换标准化后，二次型标准形的平方项系数是矩阵A的全部特征值,根据特征值的性质，有通过正交变换化为标准形(1)求参数a，并指出二次曲面所属的曲面类型;(2)当时，求f的最大值,其中化简为这是一个椭球面，所以曲面解得设二次型经正交变换x＝Qy化为标准形，则通过正交变二次曲

6、面方程2.配方法例3用配方化二次型为标准形,并求所用的可逆线性变换.解(1)由于f中含有x1的平方项,首先把含x1的项归并起来进行配方，得则可逆线性变换x＝Cy化二次型为标准形：解(2)由于f中不含有平方项,首先令所求可逆线性变换为x＝Cz，这里配方法化二次型为标准形（小结）利用和的平方公式逐步消非平方项（交叉项）.(1)若二次型含有xi的平方项，则把含有xi的项集中,再按xi配成平方项，其余类推，直至都配成平方项；(2)若在二次型中没有平方项,但aij≠0(i≠j),则首先作可逆线性变换：化二次型为(1)的情形，再配方.可以证明定理任

7、何实二次型，都可经过可逆线性变换化为标准形.用矩阵语言表述，即是定理对于任何实对称矩阵A，总存在可逆矩阵C，使得CTAC=为对角矩阵，即实对称矩阵一定合同于一个对角矩阵．.3.初等变换法定理对任何实对称矩阵A,一定存在初等矩阵P1,P2…Ps,使PsT···P2TP1TAP1,P2···Ps=为对角矩阵.证A为实对称矩阵,故存在可逆线性变换x＝Cy使f(x1,···,xn)=xTAx=(Cy)TA(Cy)=yTCTACy=yTy为标准形.由于C为可逆矩阵，因此可以写成一系列初等矩阵的乘积,即C=P1P2···Ps从而CTAC=PsT

8、···P2TP1TAP1P2···Ps=定理表明：对A的行每作一次初等变换的同时，也对A的列作相同的初等变换，经过若干次这样的双变换就可把A化为对角矩阵.初等变换化二次型为标准形的步骤：(