一轮复习配套讲义：第5篇 第2讲 等差数列及其前n项和

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1、第2讲　等差数列及其前n项和[最新考纲]1．理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.知识梳理1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*)，d为常数．2．等差数列的通项公式与前n项和公式(1)若等差数列{an}的首项是a1

2、，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.若等差数列{an}的第m项为am，则其第n项an可以表示为an＝am＋(n－m)d.(2)等差数列的前n项和公式Sn＝＝na1＋d.(其中n∈N*，a1为首项，d为公差，an为第n项)3．等差数列及前n项和的性质(1)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝.(2)若{an}为等差数列，当m＋n＝p＋q，am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md

3、的等差数列．(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．(5)S2n－1＝(2n－1)an.(6)若n为偶数，则S偶－S奇＝；若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．4．等差数列与函数的关系(1)等差数列与一次函数的区别与联系等差数列一次函数解析式an＝kn＋b(n∈N*)f(x)＝kx＋b(k≠0)不同点定义域为N*，图象是一系列孤立的点(在直线上)，k为公差定义域为R，图象是一条直线，k为斜率相同点数列的通项公式与函数解析式都是关于自变量的一次函数．①k≠0时，数列an＝kn＋b(n∈N*)

4、图象所表示的点均匀分布在函数f(x)＝kx＋b(k≠0)的图象上；②k＞0时，数列为递增数列，函数为增函数；③k＜0时，数列为递减数列，函数为减函数(2)等差数列前n项和公式可变形为Sn＝n2＋n，当d≠0时，它是关于n的二次函数，它的图象是抛物线y＝x2＋x上横坐标为正整数的均匀分布的一群孤立的点．辨析感悟1．对等差数列概念的理解(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(×)(2)等差数列的公差是相邻两项的差．(×)(3)(教材习题改编)数列{an}为等差数列的充要条件是其

5、通项公式为n的一次函数．(×)2．等差数列的通项公式与前n项和(4)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(√)(5)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．(√)(6)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．(×)3．等差数列性质的活用(7)(2013·广东卷改编)在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝20.(√)(8)(2013·辽宁卷改编)已知关于d＞0的等差数列{an}，则数列{an}，{nan}，，{an＋3nd}都是递增数列．(×

6、)[感悟·提升]一点注意　等差数列概念中的“从第2项起”与“同一个常数”的重要性，如(1)、(2)．等差数列与函数的区别　一是当公差d≠0时，等差数列的通项公式是n的一次函数，当公差d＝0时，an为常数，如(3)；二是公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数，且常数项为0；三是等差数列{an}的单调性是由公差d决定的，如(8)中若an＝3n－12，则满足已知，但nan＝3n2－12n并非递增；若an＝n＋1，则满足已知，但＝1＋是递减数列；设an＝a1＋(n－1)d＝dn＋m，则an＋3nd＝4dn＋m是递

7、增数列.学生用书第82页考点一　等差数列的基本量的求解【例1】在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．解　(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.由a1＝1，a3＝－3，可得1＋2d＝－3.解得d＝－2.从而，an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.(2)由(1)可知an＝3－2n.所以Sn＝＝2n－n2.进而由Sk＝－35可得2k－k2＝－35.即k2－2k－35＝0，解得k＝7或－5.又k∈N*

8、，故k＝7为所求．规律方法(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．【训练1】(1)(2013·浙江五校联考)已知等差数列{an}满足a2＋a4