一轮复习配套讲义：第5篇 第3讲 等比数列及其前n项和

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1、第3讲　等比数列及其前n项和[最新考纲]1．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式及前n项和公式．2．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．3．了解等比数列与指数函数的关系.知识梳理1．等比数列的有关概念(1)等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示．数学语言表达式：＝q(n≥2)，q为常数．(2)等比中项如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G

2、，b成等比数列⇒G2＝ab.2．等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；若等比数列{an}的第m项为am，公比是q，则其第n项an可以表示为an＝amqn－m.(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.3．等比数列及前n项和的性质(1)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.(3)当q≠－1

3、，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.(4)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．辨析感悟1．对等比数列概念的理解(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列．(×)(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.(×)(3)若三个数成等比数列，那么这三个数可以设为，a，aq.(√)2．通项公式与前n项和的关系(4)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.(×)(5)(2

4、013·新课标全国Ⅰ卷改编)设首项为1，公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn＝3－2an.(√)3．等比数列性质的活用(6)如果数列{an}为等比数列，则数列{lnan}是等差数列．(×)(7)(2014·兰州模拟改编)在等比数列{an}中，已知a7·a12＝5，则a8a9a10a11＝25.(√)(8)(2013·江西卷改编)等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于－2或0.(×)[感悟·提升]1．一个区别　等差数列的首项和公差可以为零，且等差中项唯一；而等比数列首项和公比均不为零，等比中项可以有两个值．如(1)中的“常数”，应

5、为“同一非零常数”；(2)中，若b2＝ac，则不能推出a，b，c成等比数列，因为a，b，c为0时，不成立．2．两个防范　一是在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1或q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误，如(4)．二是运用等比数列的性质时，注意条件的限制，如(6)中当＝q＜0时，lnan＋1－lnan＝lnq无意义.学生用书第85页考点一　等比数列的判定与证明【例1】(2013·济宁测试)设数列{an}的前n项和为Sn，若对于任意的正整数n都有Sn＝2an－3n，设bn＝an＋3.求证：数列{bn}是等比数列，并求a

6、n.证明　由Sn＝2an－3n对于任意的正整数都成立，得Sn＋1＝2an＋1－3(n＋1)，两式相减，得Sn＋1－Sn＝2an＋1－3(n＋1)－2an＋3n，所以an＋1＝2an＋1－2an－3，即an＋1＝2an＋3，所以an＋1＋3＝2(an＋3)，即＝＝2对一切正整数都成立，所以数列{bn}是等比数列．由已知得：S1＝2a1－3，即a1＝2a1－3，所以a1＝3，所以b1＝a1＋3＝6，即bn＝6·2n－1.故an＝6·2n－1－3＝3·2n－3.规律方法证明数列{an}是等比数列常用的方法：一是定义法，证明＝q(n≥2，q为常数)；二是等

7、比中项法，证明a＝an－1·an＋1.若判断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法．【训练1】(2013·陕西卷)设{an}是公比为q的等比数列．(1)推导{an}的前n项和公式；(2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．解　(1)设{an}的前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，∴Sn＝，∴Sn＝(2)假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N*，(

8、ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，a＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，aq2k＋2a1qk