数学实验课程设计 常微分方程数值解

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1、数学实验报告1.题目：某容器盛满水后，底端直径为d0的小孔开启（如图1），根据水力学知识，当水面高度为h时，谁从小孔中流出的速度为v=0.6*（g*h）^0.5（其中g为重力加速度，0.6问哦小孔收缩系数）1）若容器为倒圆锥形（如图1），现测得容器高和上底直径都为1.2m，小孔直径d为3cm，为水从小孔中流完需要多少时间；2min时水面高度是多少。2）若容器为倒葫芦形（如图2），现测得容器高1.2m，小孔直径d为3cm，由底端（记x=0）向上每隔0.1m测出容器的直径D（m）如表1所示，问水从小孔中流完需要多少时间；2min时水面高度是多少。图1X/m00.

2、10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.11.2D/m0.030.050.080.140.190.330.450.680.981.101.201.131.00表12.分析：由题知，水从小孔中流出，不仅与容器有关，还与水流速度v=0.6*（2*g*h）^0.5有关。第一小题容器是圆锥形，比较规则，但是由于水不断从小孔流出，容器中水的高度是不断变化的，水流速度没有一定的公式，所以要用到微积分解决。由（1）知，水面直径等于水深。水深为h时，流量为0.6(π/4)d^2*(gh)^0.5，0.6*(g*h)^(0.5)*π*(d0/2)^2*dt

3、=π/4*h^2*dh则水深下降dh所需时间：dt=-[(π/4)h^2*dh]/[0.6(π/4)d^2*(gh)^0.5]=-[h^1.5*dh]/[0.6d^2*(g)^0.5]水深由1.2m至0定积分得水从小孔流完的时间：T（其中已知d=0.03m，g=9.8m*s(-2）对于第二问：设两分钟（120S）后水深为Xm，由dt=-[(π/4)h^2*dh]/[0.6*(π/4)*d^2*(gh)^0.5]=-[h^1.5*dh]/[0.6d^2*(g)^0.5]则263.93-120=X^2.5/[1.5*d^2*(g)^0.5]以d=0.03m，g=

4、9.8m*s(-2代入上式得水深：X第二小题容器为倒葫芦形，比较不规则，比较复杂，不仅要考虑水不断从小孔流出，容器中水的高度是不断变化的，水流速度没有一定的公式，所以要用到微积分解决，还要注意表1的倒葫芦形的不断变化，水深的高度变化是不规则的但仍可以用微积分。由（2）知容器高1.2m，水深为h时，流量为0.6(π/4)d^2*(gh)^0.5，由于不同高度，倒葫芦形半径不同，用欧拉方程和龙格—库塔方法则水深下降dh所需时间：dt=t(k+1)-t(k)=-[(π/4)h^2*dh]/[0.6(π/4)d^2*(gh)^0.5]=-[h^1.5*dh]/[0.

5、6d^2*(g)^0.5]然后利用循环fork=1：length(L)，t(k)=((h(k+1)-h(k))*(π/4)*d(k)^2)/(0.6*(π/4)*d^2*(g(1.2-h(k)))^0.5)，T=sum(t).可以求得水从小孔流完的总时间。对于第二问：设两分钟（120S）后水深为Xm，由S=0,利用条件，当120-s<0.0001时s=s+t(k)，x(k)把d=0.03m，g=9.8m*s(-2)代入上式得水深：X相关资料：龙格—库塔方法求解龙格—库塔方法思想：用[v,v]上若干个点的倒数，对他们做线性组合得到平均斜率，就可能得到更高阶的精

6、度，这就是龙格—库塔方法思想。为了演算方便本课程设计采用二阶龙格—库塔公式，即求[v,v]上的二个倒数，将他们加权平均得平均斜率。我们设有形如：其中函数满足HipscHitz条件，既满足存在常数H使按照下式在和去倒数作线性组合（3）其中为待定系数，确定他们的准则是使（3）式有尽量高的精度。注意到的假设，并对作二元泰勒展开，且利用，（3）式可写为：于是故得截断误差为容易看出只要：就可以使（3）式具有2阶精度。以上分析了龙格—库塔方法思想，下面用时的龙格—库塔方法即为改良后的欧拉公式法在MATHAB上解决本课程设计题目：2..模型方程：开始条件h=1.2m，d0

7、=1.2m，g=9.8m*s(-2)，d=0.03m水深为h时，流量Q为0.6(π/4)d^2*(gh)^0.5，则水深下降dh所需时间：dt=-[(π/4)h^2*dh]/[0.6(π/4)d^2*(gh)^0.5]=-[h^1.5*dh]/[0.6d^2*(g)^0.5]水深由1.2m至0定积分得水从小孔流完的时间：T（其中已知d=0.03m，g-9.8m/s）设两分钟（120S）后水深为Xm，由dt=-[(π/4)h^2*dh]/[0.6*(π/4)*d^2*(gh)^0.5]=-[h^1.5*dh]/[0.6d^2*(g)^0.5]则263.93-1

8、20=X^2.5/[1.5*d^2*(g)^0.5]