计算方法第5章数值积分和数值微分复习(05)

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1、第5章数值微分和数值积分一、考核知识点：内插求积公式，代数精度，梯形公式及其余项，辛卜生公式及其余项，复化梯形公式及其余项，复化辛卜生公式及其余项。一阶数值微分公式的差商形式（向前差商、向后差商、中心差商），利用多项式插值求节点上某点的微分公式。二、考核要求：1．知道内插求积公式及其性质，会计算内插求积公式。2．了解代数精度概念，掌握内插求积公式代数精度的判别方法。3．熟练掌握梯形、复化梯形公式及其余项；熟练掌握辛卜生、复化辛卜生公式及其余项，熟练掌握运用它们计算定积分的近似值。4．了解数值微分公式的几种形式。三、典型例题分析1．在区间上，求以

2、为节点的内插求积公式。解：由系数计算公式得所以求积公式为2．求积公式的代数精确度为（）。解由于此公式为3个节点的内插求积公式，代数精度至少为2。令，代入内插求积公式得左边=，右边，所以左边=右边再令，代入内插求积公式得左边=，右边=所以左边右边所以此公式具有3次代数精度。3．用梯形公式和的复化梯形公式求积分，并估计误差。解（1）梯形公式因为，，代入梯形公式得则（2）复化梯形公式因为和复化梯形公式得因为，，所以注意：在用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算积分时注意系数的排列。4．用辛卜生公式和复化辛卜生公式计算积分，使误差小于解（1）辛卜生公式因为，，代

3、入辛卜生公式得4（2）复化辛卜生公式因为解不等式得，用，复化辛卜生公式计算得例5设为内插求积公式系数证明证明：设，因为所以。5．利用中点公式求在x=2处的一阶导数时有两种误差它们分别为和。为了避免误差，我们改写中点公式为。6．数值微分的插值多项式构造的数值微分公式，当n=2时，节点xk=x0+kh(k=0,1,2)的一阶导数的三点公式，其余项为。二阶导数的三点公式，其余项为。7．运用梯形公式、辛普森公式、柯茨公式分别计算积分，并估计各种方法的误差（要求小数点至少保留5位）。证明：运用梯形公式，其误差为实际误差为1）运用辛普森公式其误差为运用柯茨公式其

4、误差为8．5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为　　，5个节点的求积公式最高代数精度为　　　　。（6、）9．在牛顿-柯特斯求积公式：中，当系数是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（　）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。（1），（2），（3），（4），