第4章线性规划初步

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1、第7章线性规划初步在日常生活中我们经常会遇到这样的问题：如何合理安排有限的人力、物力、财力等资源，使得这些资源的效能能够充分地发挥，以获取最佳的经济效益。线性规划就是辅助人们寻求解决这些问题的一种数学方法。在本章的学习中，我们将把一些简单的实际问题归结为线性规划的问题，通过学习解决这些问题的思想和方法，对线性规划的建立、应用和求解有个初步的认识。本章学习目标学完本章内容，你将能够●了解建立实际问题的数学模型的方法●会用图解法解二元线性规划问题●会用表格法解线性规划问题●学会用计算机软件Excel解线性规划问题本章目录§7.1

2、线性规划问题的概念§7.2二元线性规划问题的图解法§7.3用表格法解线性规划问题§7.4用计算机软件Excel解线性规划问题4§7.1线性规划问题的概念探究．某建筑公司建造居民小区，若建一幢普通的住宅楼需投入资金300万元，并占地200m2，可获利润100万元；若建一栋别墅需投入资金400万元，并占地100m2，可获利润200万元，该公司现有资金9000万元，拍得土地5000m2，问应作怎样的投资组合，才能获利最多？　　这是一个获取最大利润的问题，正是线性规划问题所要解决的。例1某点心店要做甲、乙两种馒头，甲种馒头的主要原料

3、是每3份面粉加2份玉米粉，乙种馒头的主要原料是每4份面粉加1份玉米粉。这个店每天可买进面粉50公斤和玉米粉20公斤，又做1公斤甲种馒头的利润是5元，做1公斤乙种馒头的利润是4元，那么这个点心店每天做甲、乙两种馒头各多少公斤，才能获利最大?解现将上述有关数据列为下表：甲种馒头乙种馒头原料数量面粉3450玉米粉2120利润54图7-1设甲、乙两种馒头计划产量分别为x，y公斤，利润为z元。生产这两种馒头所用面粉总量为0．6x+0．8y(公斤)，现共有50公斤面粉，因此，应有0．6x+0．8y≤50即　　　　　　　　　　　　　　　　

4、　3x+4y≤250类似地，得0．4x+0．2y≤20即　　　　　　　　　　　　　　　　　2x+y≤100由于产品的数量不能为负数，应有x≥0，y≥0总利润为z=5x+4y综合起来，可以把这个问题的数学形式表达为：其中，记号“max”表示函数的最大值。在上述式子中，我们称x，y为决策变量，式(7.1)为目标函数，式(7.2)～(7.5)统称为约束条件。根据问题的不同，目标函数可最大化或最小化。在约束条件下求目标函数的最大值和最小值问题称为线性规划问题。4线性规划问题主要研究两类问题：1．如何合理利用有限的资源，使其产生最大的

5、效益。2．如何制定最佳方案，以尽可能少的资源完成所要做的事情。这就是最优化的问题。例2某运输公司有8辆载重6吨的A型卡车，4辆载重10吨的B型卡车，并有9名驾驶员。在建造某段高速公路中，公司承包了每天至少运输沥青180吨的任务．已知每辆卡车每天往返次数为A型4次，B型6次，派出每辆卡车每天的成本为A型120元，B型200元．每天应派出A型和B型车各多少辆，能使公司总成本最低？解：这个问题的目标是要求最小的运输费用。设公司每天应派出型卡车辆，型卡车辆，由条件知：即有线性规划问题：min．记号“min”表示函数的最小值。从上面的

6、例子中我们看到，为了解决实际问题，往往要将这些问题抽象为数学形式，称其为数学模型。线性规划问题就常对物资调运、产品安排和下料等问题建立数学模型后用数学的方法加以解决。问题解决将例1中的“派出每辆卡车每天的成本为A型120元，B型200元”改为“派出每辆卡车每天可得利润为A型120元，B型200元”，求“每天应派出A型、B型车各多少辆，能使公司利润最大”，你应该怎样解答？思考交流是不是所有求最值的问题都是线性规划问题？练习1．某厂计划生产甲、乙两种产品，其主要原材料有钢材3000kg，铜材2000kg，每件产品耗材定额(kg)

7、及所获利润(元)如下表，问如何安排生产能使该厂所获利润最大？甲乙库存材料钢843000铜452100利润6080图7-22．某饲养场要同时用A、B两种饲料喂养动物，要求每头动物每天至少应摄取700克蛋白质、30克矿物质和0.1克维生素。两种饲料的每公斤中所含三种成份的数量(克)及每公斤的单价(元)如下表，现要买两种饲料各多少公斤，才能既满足动物生长的需要，又使费用最省？4AB蛋白质32矿物质10.5维生素0.51单价0.20.7图7-3习题1．家具厂生产桌子和椅子，桌子售价50元一个，椅子30元一个。生产一个桌子需要木工4小

8、时，油漆工2小时，生产一个椅子需要木工3小时，油漆工1小时。该厂每月可用木工工时120小时油漆工，工时50小时。根据以上条件构建使销售收入最大的线性规划模型。2．某汽车公司有两家装配厂，生产甲、乙两种不同型号的汽车，若A厂每小时可完成1辆甲型车和2辆乙型车；B厂每小时可完成3辆甲型车和1辆