高数微积分 同济版高数教学设计完美版多元函数微分法及其应用 (2)

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1、高数微积分同济版高数教学设计完美版多元函数微分法及其应用(2)导读：就爱阅读网友为您分享以下“同济版高数教学设计完美版多元函数微分法及其应用(2)”资讯，希望对您有所帮助，感谢您对92to.com的支持!§8.1多元函数的基本概念一、平面点集n维空间1．平面点集由平面解析几何知道,当在平面上引入了一个直角坐标系后,平面上的点P与有序二元实数组(x,y)之间就建立了一一对应.于是,我们常把有序实数组(x,y)与平面上的点P视作是等同的.这种建立了坐标系的平面称为坐标平面.二元的序实数组(x,y)的全体,即R2=R⨯R={(x,y)

2、x,

3、y∈R}就表示坐标平面.坐标平面上具有某种性质P的点的集合,称为平面点集,记作E={(x,y)

4、(x,9y)具有性质P}.例如,平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合是C={(x,y)

5、x2+y2r2}.如果我们以点P表示(x,y),以

6、OP

7、表示点P到原点O的距离,那么集合C可表成C={P

8、

9、OP

10、r}.邻域:第1页共14页设P0(x0,y0)是xOy平面上的一个点,δ是某一正数.与点P0(x0,y0)距离小于δ的点P(x,y)的全体,称为点P0的δ邻域,记为U(P0,δ),即22U(P0,δ)={P

11、

12、PP0,δ)={(x

13、,y)

14、x-x0)+(y-y0)δ}.0

15、δ}或U(P邻域的几何意义:U(P0,δ)表示xOy平面上以点P0(x0,y0)为中心、δ0为半径的圆的内部的点P(x,y)的全体.点P0的去心δ邻域,记作U(P0,δ),即U(P0,δ)={P

16、0

17、P0P

18、δ}.注:如果不需要强调邻域的半径δ,则用U(P0)表示点P0的某个邻域,点P0的去心邻域记作U(P0).点与点集之间的关系:任意一点P∈R2与任意一个点集E⊂9R2之间必有以下三种关系中的一种:(1)内点:如果存在点P的某一邻域U(P),使得U(P)⊂E,则称P为E的内点;(2)外点:如

19、果存在点P的某个邻域U(P),使得U(P)⋂E=∅,则称P为E的外点;(3)边界点:如果点P的任一邻域内既有属于E的点,也有不属于E的点,则称P点为E的边点.第2页共14页E的边界点的全体,称为E的边界,记作∂E.E的内点必属于E;E的外点必定不属于E;而E的边界点可能属于E,也可能不属于E.聚点:如果对于任意给定的δ0,点P的去心邻域U(P,δ)内总有E中的点,则称P是E的聚点.由聚点的定义可知,点集E的聚点P本身,可以属于E,也可能不属于E.例如,设平面点集E={(x,y)

20、1x2+y2≤2}.满足1x2+y22的一切点(x,y)

21、都是E的内点;满足x2+y2=1的一切点(x,y)都是E的边界点,它们都不属于E;满足x2+y2=2的一切点(x,y)也是E的边界点,它们都属于E;点集E以及它的界边∂E上的一切点都是E的聚点.开集:如果点集E的点都是内点,则称E为开集.闭集:如果点集的余集Ec为开集,9则称E为闭集.开集的例子:E={(x,y)

22、1x2+y22}.闭集的例子:E={(x,y)

23、1≤x2+y2≤2}.集合{(x,y)

24、1x2+y2≤2}既非开集,也非闭集.第3页共14页连通性:如果点集E内任何两点,都可用折线连结起来,且该折线上的点都属于E,则称E为连

25、通集.区域(或开区域):连通的开集称为区域或开区域.例如E={(x,y)

26、1x2+y22}.闭区域:开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域.例如E={(x,y)

27、1≤x2+y2≤2}.有界集:对于平面点集E,如果存在某一正数r,使得E⊂U(O,r),其中O是坐标原点,则称E为有界点集.无界集:一个集合如果不是有界集,就称这集合为无界集.例如,集合{(x,y)

28、1≤x2+y2≤2}是有界闭区域;集合{(x,y)

29、x+y1}是无界开区域;集合{(x,y)

30、x+y≥1}是无界闭区域.2.n维空间设n为取定的一个自然数,我们用Rn表示n

31、元有序数组(x1,x2,⋅⋅⋅,xn)的全体所构成的集合,即Rn=R⨯R⨯⋅⋅⋅⨯R={(x1,x2,⋅⋅⋅,xn)

32、xi∈R,i=1,2,⋅⋅⋅,n}.Rn中的元素(x1,x2,⋅⋅⋅,xn)有时也用单个字母x来表示,即x=(x1,x2,⋅⋅⋅,xn).当所有的xi(i=1,2,⋅⋅9⋅,n)都为零时,称这样的元素为Rn中的零元,第4页共14页记为0或O.在解析几何中,通过直角坐标,R2(或R3)中的元素分别与平面(或空间)中的点或向量建立一一对应,因而Rn中的元素x=(x1,x2,⋅⋅⋅,xn)也称为Rn中的一个点或一个n维向量,

33、xi称为点x的第i个坐标或n维向量x的第i个分量.特别地,Rn中的零元0称为Rn中的坐标原点或n维零向量.为了在集合Rn中的元素之间建立联系,在Rn中定义线性运算如下:设x=(x1,x2,⋅⋅⋅,xn),y=(y1,y2