洪帆《离散数学基础》(第三版)课后习题答案

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1、第1章集合1、列举下列集合的元素(1)小于20的素数的集合(2)小于5的非负整数的集合(3)答:(1)(2)(3)2、用描述法表示下列集合(1)答:(2)答:(3)答:3、下面哪些式子是错误的?(1)答:正确(2)答:错误(3)答:正确(4)答:正确4、已给和,指出下面哪些论断是正确的?哪些是错误的?(1)错误71(2)正确(3)正确(4)正确(5)错误(6)正确(7)错误(8)正确(9)正确(10)错误(11)错误(12)正确5、列举出集合的例子,使其满足,且答:,,显然,,显然,但是。6、给出

2、下列集合的幂集(1)答:幂集(2)答:幂集7、设,给出和的幂集答:8、设由和所表示的的子集各是什么?应如何表示子集和答:71,9、设,,,,确定集合:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)答:(1),(2),,(3),(4),,(5)(6),(7),(8),,(9),,(10)10、给定自然数集的下列子集:,,求下列集合:(1)答:,,(2)71(3)解:,(4)解:,11、给定自然数集的下列子集,,,将下列集合表示为由产生的集合:(1)(2)(3)(4)(5)(6)答:,

3、,,==(4)(5)(6)12、判断以下哪些论断是正确的,哪些论断是错误的,并说明理由。(1)若,则71答:正确,根据集合并的定义(2)若,则答:显然不正确,因为根据集合交运算的定义,必须同时属于和(3)若,则答:正确(4)若,则答:错误(5)若,则答:正确(6)若,则答:错误(7)若,则答:正确13、设是任意的集合,下述论断哪些是正确的?哪些是错误的?说明理由(1)若,则答:不正确,反例,设,则不论是什么集合,都有,但显然不一定相等。(2)当且仅当,有;答:正确,证明如下:若,则对,有,则有,因

4、此有。反之,若,则显然成立。(3)当且仅当,有答:正确,证明如下:若,则对,因此,则,则有。若,则,有,因此由,可以得出,因此,又,有。71(4)当且仅当,有答:不正确,因为,因此不一定需要满足,而若也可以满足。例如:,,,成立,而不成立。(5)当且仅当,有答:不正确,因为若,有成立,但是反之不成立,反例如下:,,,而,,但是不成立。14、设是集合,下述哪些论断是正确的?哪些是错误的?说明理由。(1)若,则答:正确,证明:对,则或,因为,因此或,因此,即成立。(2)若,则答:正确(3)若,,则答:

5、正确(4)若,则答:不正确。例如若,但是,,则。15、设是两个集合,问:(1)如果,那么和有什么关系?答:因为,而,即对有,因此71。(2)如果,那么和有什么关系?答:充要条件是。证明:因为的,从而有,即,同理可证明,因此。16、设是任意集合,下述论断哪些是正确的?哪些是错误的?说明理由。(1)答:不正确。例如,,则,显然不成立。(2)答:成立。证明:对,则且,则,则,因此。反之,若,则,则且,因此,且,因此,即。(3)答:显然不成立,因为左边集合肯定含有,而右边不含有。17、在一个班级的50个学

6、生中,有26人在离散数学的考试中取得了优秀的成绩;21人在程序设计的考试中取得了优秀的成绩。假如有17人在两次考试中都没有取得优秀成绩,问有多少人在两次考试中都取得了优秀成绩?答:分别用表示在离散和程序设计的考试中取得优秀成绩的学生集合,表示全体学生集合:则,,,则两次考试中都取得了优秀成绩的学生人数为26+21-33=14人。18、设是任意集合,运用成员表证明:(1)证明:71左边右边00011000000011100000010111011101111101111000010000101011

7、101111000100001110111011(3)证明:0000000000100010010000100110001010011101101100101100101011100010由上得证左右两边相等。19、由和的成员表如何判断?应用成员表证明或否定答:先分别给出集合和的成员表如下:000001010001010010010110000011110000100101111101110011110110000111110000观察上述表格,我们发现所标记的列中,仅在第五列为1,这71意味着当

8、元素且时,,而在其他情形下,元素。而集合所标记的列中,第五和第六行均为1,这意味着且时,,当,且时,也有。所以当元素时也有,反之不然,因此成立。20、为的子集,至多能产生多少不同的子集?答:构造由所产生的集合的成员表,显然该成员表由个行所组成。在该成员表中不同的列可由为的二进制数0000~11111分别表示,而不同的列所标记的集合不相同的,因此由至多可以产生个不同的集合。21、证明分配律、等幂律和吸收律1分配律证明:对,则有且,即有,且或,也即有或,即,因此左边右边。对,则或,即且

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